Номер 24, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Дано:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. $CD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$.

Найти:

Доказать, что высота $CD$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника ($ACD$ и $CBD$), каждый из которых подобен исходному треугольнику $ABC$.

Решение:

1. Докажем подобие $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$.
— Угол $\angle ADC$ равен $90^\circ$, так как $CD$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$.
— Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по условию, так как $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник.
Следовательно, $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$.
— Угол $\angle CAD$ (или просто $\angle A$) является общим для обоих треугольников ($ACD$ и $ABC$).
Поскольку два угла треугольника $ACD$ (прямой угол $\angle ADC$ и общий угол $\angle A$) соответственно равны двум углам треугольника $ABC$ (прямой угол $\angle ACB$ и общий угол $\angle A$), то по первому признаку подобия треугольников (по признаку "УУ" — по двум углам), треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Значит, $\triangle ACD \sim \triangle ABC$.

2. Докажем подобие $\triangle CBD$ и $\triangle ABC$.
— Угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$, так как $CD$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$.
— Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по условию.
Следовательно, $\angle CDB = \angle ACB = 90^\circ$.
— Угол $\angle CBD$ (или просто $\angle B$) является общим для обоих треугольников ($CBD$ и $ABC$).
Поскольку два угла треугольника $CBD$ (прямой угол $\angle CDB$ и общий угол $\angle B$) соответственно равны двум углам треугольника $ABC$ (прямой угол $\angle ACB$ и общий угол $\angle B$), то по первому признаку подобия треугольников (по признаку "УУ"), треугольники $CBD$ и $ABC$ подобны.
Значит, $\triangle CBD \sim \triangle ABC$.

Из пунктов 1 и 2 следует, что оба треугольника $ACD$ и $CBD$ подобны исходному треугольнику $ABC$. По свойству транзитивности подобия, если два объекта подобны третьему, то они подобны и между собой. Следовательно, $\triangle ACD \sim \triangle CBD$.

Ответ:

Доказано, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.