Номер 27, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Нарисуйте правильный:

а) треугольник;

б) четырехугольник;

в) пятиугольник;

г) шестиугольник.

Проверьте правильность нарисованных многоугольников с помощью линейки и транспортира.

Решение

Для построения правильного многоугольника необходимо помнить, что все его стороны имеют одинаковую длину и все внутренние углы равны по величине. Величина каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника может быть рассчитана по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. После построения, для проверки правильности многоугольника используются линейка (для измерения длин сторон) и транспортир (для измерения величин углов).

а) треугольник

Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Он имеет $n = 3$ стороны.

Каждый внутренний угол равностороннего треугольника равен: $\alpha = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{1 \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Построение: начертите отрезок, который будет одной из сторон треугольника. Установите циркуль на длину этого отрезка. Из каждой из двух вершин отрезка проведите дуги так, чтобы они пересеклись. Точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника. Соедините эту точку с концами исходного отрезка.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех трех сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все три внутренних угла - каждый из них должен быть равен $60^\circ$.

Ответ:

б) четырехугольник

Правильный четырехугольник - это квадрат. Он имеет $n = 4$ стороны.

Каждый внутренний угол квадрата равен: $\alpha = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = \frac{2 \times 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Построение: начертите отрезок. В каждом из его концов постройте перпендикуляры (например, с помощью угольника или транспортира) той же длины, что и исходный отрезок. Соедините концы этих перпендикуляров, чтобы замкнуть фигуру.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех четырех сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все четыре внутренних угла - каждый из них должен быть равен $90^\circ$.

Ответ:

в) пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет $n = 5$ сторон.

Каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен: $\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

Построение: начертите окружность и отметьте её центр. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам, равен $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Отметьте первую точку на окружности. Используя транспортир, отложите от центра углы по $72^\circ$ (считая от первого радиуса) для каждой из пяти вершин. Соедините полученные пять точек на окружности последовательно.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех пяти сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все пять внутренних углов - каждый из них должен быть равен $108^\circ$.

Ответ:

г) шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет $n = 6$ сторон.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен: $\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Построение: начертите окружность. Важным свойством правильного шестиугольника, вписанного в окружность, является то, что длина его стороны равна радиусу этой окружности. Отметьте любую точку на окружности. Установите циркуль на радиус окружности. От этой точки, не меняя раствора циркуля, отмеряйте последовательно шесть точек по окружности. Соедините эти шесть точек последовательно.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех шести сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все шесть внутренних углов - каждый из них должен быть равен $120^\circ$.

Ответ: