Страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Периметр треугольника равен 54 см. Найдите его стороны, если они относятся как $2 : 3 : 4$.

Дано:

Периметр треугольника $P = 54 \text{ см}$

Отношение сторон $a : b : c = 2 : 3 : 4$

Перевод в СИ:

$P = 54 \text{ см} = 0.54 \text{ м}$

Найти:

Стороны треугольника $a, b, c$.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны $2x$, $3x$ и $4x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Согласно условию, периметр равен $54 \text{ см}$.

Составим уравнение для периметра:

$2x + 3x + 4x = P$

Подставим значение периметра:

$2x + 3x + 4x = 54$

Сложим члены с $x$:

$9x = 54$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{54}{9}$

$x = 6 \text{ см}$

Теперь, используя найденное значение $x$, вычислим длины каждой стороны:

Первая сторона $a = 2x = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}$

Вторая сторона $b = 3x = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}$

Третья сторона $c = 4x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$

Проверим сумму сторон: $12 + 18 + 24 = 54 \text{ см}$, что соответствует заданному периметру.

Ответ:

Стороны треугольника равны $12 \text{ см}$, $18 \text{ см}$ и $24 \text{ см}$.

15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие:

а) медианы;

б) биссектрисы;

в) высоты.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 15.6 м. Найдите

Дано:

Треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны, то есть $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Найти:

Доказать, что в равных треугольниках равны соответствующие: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.

Решение:

По определению равенства треугольников, если $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то их соответствующие стороны и углы равны. Это означает, что $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$ и $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$.

а) медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$, и $A'M'$ — медиана треугольника $A'B'C'$, проведенная к стороне $B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AM = A'M'$.

Так как $AM$ и $A'M'$ — медианы, то точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $M'$ — серединой стороны $B'C'$. Следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ и $B'M' = M'C' = \frac{1}{2}B'C'$.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $BC = B'C'$. Из этого следует, что $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}B'C'$, а значит $BM = B'M'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A'B'M'$. У них: $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и $BM = B'M'$ (доказано выше).

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), $\triangle ABM \cong \triangle A'B'M'$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A'B'M'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AM = A'M'$.

Ответ:

б) биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$, и $A'L'$ — биссектриса угла $A'$ треугольника $A'B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AL = A'L'$.

Так как $AL$ и $A'L'$ — биссектрисы, то они делят углы пополам. Следовательно, $\angle BAL = \angle LAC = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle B'A'L' = \angle L'A'C' = \frac{1}{2}\angle A'$.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Из этого следует, что $\frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A'$, а значит $\angle BAL = \angle B'A'L'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$. У них: $\angle BAL = \angle B'A'L'$ (доказано выше), $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ), $\triangle ABL \cong \triangle A'B'L'$.

Из равенства треугольников $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AL = A'L'$.

Ответ:

в) высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, и $A'H'$ — высота треугольника $A'B'C'$, проведенная из вершины $A'$ к стороне $B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AH = A'H'$.

Так как $AH$ и $A'H'$ — высоты, они перпендикулярны соответствующим сторонам. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle A'H'B' = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$ являются прямоугольными треугольниками.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны) и $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$. У них: гипотенуза $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и острый угол $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$).

Таким образом, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), $\triangle ABH \cong \triangle A'B'H'$. (Также это можно доказать по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), так как $\angle B = \angle B'$, $AB = A'B'$ и $\angle AHB = \angle A'H'B' = 90^\circ$).

Из равенства треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AH = A'H'$.

Ответ:

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если:

а) основание меньше боковой стороны на 3 м;

б) основание больше боковой стороны на 3 м.

Дано:

периметр равнобедренного треугольника $P = 15.6$ м

Перевод в СИ:

нет необходимости, все величины уже в системе СИ

Найти:

стороны треугольника ($a$, $b$, $b$)

Решение:

Пусть длина боковой стороны (одной из равных сторон) равнобедренного треугольника равна $b$ метров, а длина основания равна $a$ метров.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.

По условию задачи, основание меньше боковой стороны на 3 м, то есть $a = b - 3$.

Подставим это выражение для $a$ в формулу периметра:

$P = (b - 3) + 2b$

$15.6 = b - 3 + 2b$

$15.6 = 3b - 3$

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$15.6 + 3 = 3b$

$18.6 = 3b$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $b$:

$b = \frac{18.6}{3}$

$b = 6.2$ м

Теперь найдем длину основания $a$:

$a = b - 3 = 6.2 - 3 = 3.2$ м

Проверим условие существования треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$6.2 + 6.2 > 3.2$ ($12.4 > 3.2$, верно)

$3.2 + 6.2 > 6.2$ ($9.4 > 6.2$, верно)

Все условия выполняются.

Ответ: Стороны треугольника равны $3.2$ м, $6.2$ м и $6.2$ м.

Решение:

Пусть длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна $b$ метров, а длина основания равна $a$ метров.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.

По условию задачи, основание больше боковой стороны на 3 м, то есть $a = b + 3$.

Подставим это выражение для $a$ в формулу периметра:

$P = (b + 3) + 2b$

$15.6 = b + 3 + 2b$

$15.6 = 3b + 3$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$15.6 - 3 = 3b$

$12.6 = 3b$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $b$:

$b = \frac{12.6}{3}$

$b = 4.2$ м

Теперь найдем длину основания $a$:

$a = b + 3 = 4.2 + 3 = 7.2$ м

Проверим условие существования треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$4.2 + 4.2 > 7.2$ ($8.4 > 7.2$, верно)

$7.2 + 4.2 > 4.2$ ($11.4 > 4.2$, верно)

Все условия выполняются.

Ответ: Стороны треугольника равны $7.2$ м, $4.2$ м и $4.2$ м.

17. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Дано:

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
$AB = A_1B_1$
$AC = A_1C_1$
$CM$ - медиана в $\triangle ABC$
$C_1M_1$ - медиана в $\triangle A_1B_1C_1$
$CM = C_1M_1$

Перевод данных в систему СИ:
В данной задаче величины являются длинами отрезков, которые уже представлены в единицах, позволяющих сравнение. Перевод в конкретные единицы СИ (например, метры) не требуется, так как это не влияет на геометрические соотношения и доказательство равенства.

Найти:

Доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Решение:

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся одним из признаков равенства треугольников.
Рассмотрим медианы $CM$ и $C_1M_1$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $M_1$ - серединой стороны $A_1B_1$. Следовательно, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$ и $A_1M_1 = M_1B_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.
По условию задачи, $AB = A_1B_1$.
Из этого следует, что $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}A_1B_1$, а значит $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$. У них:
1. $AC = A_1C_1$ (по условию)
2. $CM = C_1M_1$ (по условию)
3. $AM = A_1M_1$ (доказано выше)

Так как три стороны треугольника $AMC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1M_1C_1$, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):
$\triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1$.

Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, лежащий напротив стороны $CM$ в $\triangle AMC$, равен углу, лежащему напротив стороны $C_1M_1$ в $\triangle A_1M_1C_1$. То есть, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$.
Это означает, что $\angle CAB = \angle C_1A_1B_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них:
1. $AB = A_1B_1$ (по условию)
2. $AC = A_1C_1$ (по условию)
3. $\angle CAB = \angle C_1A_1B_1$ (доказано выше)

Так как две стороны и угол между ними треугольника $ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1B_1C_1$, то по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

18. В треугольнике ABC угол $A$ равен $40^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $C$.

Дано:
В треугольнике ABC:
$ \angle A = 40^\circ $
$ AC = BC $

Найти:
$ \angle C $

Решение:
Поскольку в треугольнике ABC стороны AC и BC равны ($ AC = BC $), то треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие напротив равных сторон, равны.

Угол, лежащий напротив стороны AC, это $ \angle B $.
Угол, лежащий напротив стороны BC, это $ \angle A $.
Следовательно, $ \angle B = \angle A $.

Так как $ \angle A = 40^\circ $, то $ \angle B = 40^\circ $.

Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $.
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

Подставим известные значения углов:
$ 40^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ $
$ 80^\circ + \angle C = 180^\circ $

Чтобы найти $ \angle C $, вычтем $ 80^\circ $ из $ 180^\circ $:
$ \angle C = 180^\circ - 80^\circ $
$ \angle C = 100^\circ $

Ответ: $ 100^\circ $

19. Углы треугольника относятся как $1:2:3$. Найдите меньший из них.

20. Р

Дано:

Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$.

Найти:

Меньший угол треугольника.

Решение:

Пусть углы треугольника равны $x$, $2x$ и $3x$ соответственно, где $x$ — некоторая величина. Известно, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$.

Составим уравнение, исходя из суммы углов:

$x + 2x + 3x = 180^\circ$

Сложим члены с $x$:

$6x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на $6$:

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти величину каждого угла:

Первый угол (меньший): $x = 30^\circ$

Второй угол: $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Третий угол: $3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Проверим сумму углов: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.

Меньший из найденных углов равен $30^\circ$.

Ответ:

30°

20. В треугольнике $ABC$ $AB$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $138^{\circ}$. Найдите угол $C$.

Дано: треугольник $ABC$, $AB = BC$, внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$.

Найти: угол $C$.

Перевод в СИ: не требуется, углы заданы в градусах.

Решение:

1. Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$, или $\angle A = \angle C$.

2. Внешний угол при вершине $B$ и внутренний угол $\angle ABC$ (обозначим его как $\angle B$) являются смежными углами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Тогда внутренний угол $\angle B$ вычисляется как:

$\angle B = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.

3. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это выражение выглядит так:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим известное значение $\angle B = 42^\circ$ и тот факт, что $\angle A = \angle C$:

$\angle C + 42^\circ + \angle C = 180^\circ$.

Объединяем члены с $\angle C$:

$2 \cdot \angle C + 42^\circ = 180^\circ$.

Вычитаем $42^\circ$ из обеих частей уравнения:

$2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ$.

$2 \cdot \angle C = 138^\circ$.

Делим обе части на 2, чтобы найти $\angle C$:

$\angle C = \frac{138^\circ}{2}$.

$\angle C = 69^\circ$.

Ответ: $69^\circ$

21. Периметр треугольника равен 15 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией.

Дано:

Периметр исходного треугольника $P_{исходный} = 15$ см

Перевод в СИ:

$P_{исходный} = 15$ см $= 0.15$ м

Найти:

Периметр треугольника, отсекаемого средней линией $P_{отсеченный}$

Решение:

Пусть дан исходный треугольник $ABC$ со сторонами $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. Его периметр равен $P_{исходный} = a + b + c = 15$ см.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.

Рассмотрим среднюю линию, которая соединяет середины двух сторон, например, $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $AC$. Тогда $MN$ - средняя линия, которая отсекает треугольник $AMN$.

Длины сторон треугольника $AMN$ будут:

• Сторона $AM$ является половиной стороны $AB$, то есть $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} c$.
• Сторона $AN$ является половиной стороны $AC$, то есть $AN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} b$.
• Сторона $MN$ является средней линией, параллельной $BC$, и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a$.

Периметр отсеченного треугольника $P_{отсеченный}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{отсеченный} = AM + AN + MN$

Подставим найденные выражения для сторон:

$P_{отсеченный} = \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} a$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{отсеченный} = \frac{1}{2} (a + b + c)$

Мы знаем, что $a + b + c$ - это периметр исходного треугольника, который равен $15$ см.

Таким образом:

$P_{отсеченный} = \frac{1}{2} \times 15$ см

$P_{отсеченный} = 7.5$ см

Ответ: 7.5 см

или, отстоящего от данного какой-то другой средней линией.

22. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 1.

Дано:

сторона равностороннего треугольника $a = 1$.

Перевод в СИ:

сторона равностороннего треугольника $a = 1$ м. (Предполагается, что единица измерения - метр, так как не указано иного).

Найти:

высота равностороннего треугольника $h = ?$

Решение:

Высота $h$ равностороннего треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенузой является сторона равностороннего треугольника $a$, одним катетом является высота $h$, а другим катетом - половина стороны $a/2$.

Воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$a^2 = h^2 + (a/2)^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = a^2 - (a/2)^2$

$h^2 = a^2 - a^2/4$

$h^2 = (4a^2 - a^2)/4$

$h^2 = 3a^2/4$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:

$h = \sqrt{3a^2/4}$

$h = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}$

Подставим значение $a = 1$:

$h = \frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2}$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Также можно решить задачу, используя тригонометрию. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой. Угол при основании равен $60^\circ$. Синус этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к гипотенузе (стороне $a$).

$\sin(60^\circ) = h/a$

$h = a \cdot \sin(60^\circ)$

Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим $a = 1$:

$h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

Высота равностороннего треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

23. Стороны одного треугольника равны 16 см, 8 см и 10 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного первому, равна 6 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

Дано:

Стороны первого треугольника: $a_1 = 16$ см, $b_1 = 8$ см, $c_1 = 10$ см.

Меньшая сторона второго треугольника: $b_2 = 6$ см.

Второй треугольник подобен первому.

Перевод в СИ:

$a_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$b_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c_1 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$b_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Другие стороны второго треугольника ($a_2$, $c_2$).

Решение:

Для первого треугольника стороны равны 16 см, 8 см и 10 см. Меньшей стороной является 8 см.

Поскольку второй треугольник подобен первому, его меньшая сторона (6 см) соответствует меньшей стороне первого треугольника (8 см).

Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение соответствующей стороны второго треугольника к стороне первого треугольника:

$k = \frac{\text{меньшая сторона второго}}{\text{меньшая сторона первого}} = \frac{b_2}{b_1}$

$k = \frac{6 \text{ см}}{8 \text{ см}} = \frac{3}{4} = 0.75$

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем остальные стороны второго треугольника:

Соответствующая сторона $a_1 = 16$ см в первом треугольнике будет соответствовать стороне $a_2$ во втором треугольнике:

$a_2 = k \cdot a_1$

$a_2 = 0.75 \cdot 16 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Соответствующая сторона $c_1 = 10$ см в первом треугольнике будет соответствовать стороне $c_2$ во втором треугольнике:

$c_2 = k \cdot c_1$

$c_2 = 0.75 \cdot 10 \text{ см} = 7.5 \text{ см}$

Ответ:

Другие стороны второго треугольника равны 12 см и 7.5 см.

24. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Дано:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. $CD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$.

Найти:

Доказать, что высота $CD$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника ($ACD$ и $CBD$), каждый из которых подобен исходному треугольнику $ABC$.

Решение:

1. Докажем подобие $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$.
— Угол $\angle ADC$ равен $90^\circ$, так как $CD$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$.
— Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по условию, так как $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник.
Следовательно, $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$.
— Угол $\angle CAD$ (или просто $\angle A$) является общим для обоих треугольников ($ACD$ и $ABC$).
Поскольку два угла треугольника $ACD$ (прямой угол $\angle ADC$ и общий угол $\angle A$) соответственно равны двум углам треугольника $ABC$ (прямой угол $\angle ACB$ и общий угол $\angle A$), то по первому признаку подобия треугольников (по признаку "УУ" — по двум углам), треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Значит, $\triangle ACD \sim \triangle ABC$.

2. Докажем подобие $\triangle CBD$ и $\triangle ABC$.
— Угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$, так как $CD$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$.
— Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по условию.
Следовательно, $\angle CDB = \angle ACB = 90^\circ$.
— Угол $\angle CBD$ (или просто $\angle B$) является общим для обоих треугольников ($CBD$ и $ABC$).
Поскольку два угла треугольника $CBD$ (прямой угол $\angle CDB$ и общий угол $\angle B$) соответственно равны двум углам треугольника $ABC$ (прямой угол $\angle ACB$ и общий угол $\angle B$), то по первому признаку подобия треугольников (по признаку "УУ"), треугольники $CBD$ и $ABC$ подобны.
Значит, $\triangle CBD \sim \triangle ABC$.

Из пунктов 1 и 2 следует, что оба треугольника $ACD$ и $CBD$ подобны исходному треугольнику $ABC$. По свойству транзитивности подобия, если два объекта подобны третьему, то они подобны и между собой. Следовательно, $\triangle ACD \sim \triangle CBD$.

Ответ:

Доказано, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.