Номер 17, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Дано:

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
$AB = A_1B_1$
$AC = A_1C_1$
$CM$ - медиана в $\triangle ABC$
$C_1M_1$ - медиана в $\triangle A_1B_1C_1$
$CM = C_1M_1$

Перевод данных в систему СИ:
В данной задаче величины являются длинами отрезков, которые уже представлены в единицах, позволяющих сравнение. Перевод в конкретные единицы СИ (например, метры) не требуется, так как это не влияет на геометрические соотношения и доказательство равенства.

Найти:

Доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Решение:

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся одним из признаков равенства треугольников.
Рассмотрим медианы $CM$ и $C_1M_1$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $M_1$ - серединой стороны $A_1B_1$. Следовательно, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$ и $A_1M_1 = M_1B_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.
По условию задачи, $AB = A_1B_1$.
Из этого следует, что $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}A_1B_1$, а значит $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$. У них:
1. $AC = A_1C_1$ (по условию)
2. $CM = C_1M_1$ (по условию)
3. $AM = A_1M_1$ (доказано выше)

Так как три стороны треугольника $AMC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1M_1C_1$, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):
$\triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1$.

Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, лежащий напротив стороны $CM$ в $\triangle AMC$, равен углу, лежащему напротив стороны $C_1M_1$ в $\triangle A_1M_1C_1$. То есть, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$.
Это означает, что $\angle CAB = \angle C_1A_1B_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них:
1. $AB = A_1B_1$ (по условию)
2. $AC = A_1C_1$ (по условию)
3. $\angle CAB = \angle C_1A_1B_1$ (доказано выше)

Так как две стороны и угол между ними треугольника $ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1B_1C_1$, то по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.