Номер 13, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Нарисуйте:

а) остроугольный треугольник $ABC$;

б) прямоугольный треугольник $ABC$;

в) тупоугольный треугольник $ABC$.

Проведите медианы, биссектрисы и высоты этих треугольников.

а) остроугольный треугольник ABC

Решение

Для построения остроугольного треугольника ABC нарисуйте три отрезка, которые образуют треугольник, таким образом, чтобы все его углы были меньше $90^\circ$. Например, можно построить треугольник с углами $A = 60^\circ$, $B = 70^\circ$, $C = 50^\circ$.

Медианы: Для каждой стороны треугольника найдите ее середину. Например, для стороны AB найдите точку $M_C$, которая делит AB пополам; для BC — точку $M_A$; для AC — точку $M_B$. Затем соедините каждую вершину с серединой противоположной стороны: проведите отрезки $AM_A$, $BM_B$, $CM_C$. Эти отрезки являются медианами. Все медианы остроугольного треугольника располагаются внутри него и пересекаются в одной точке, называемой центроидом (или центром тяжести).

Биссектрисы: Для каждого угла треугольника (например, угла A) постройте луч, который делит этот угол пополам. Точку пересечения этого луча с противоположной стороной (BC) назовите $L_A$. Аналогично постройте биссектрисы углов B и C. Отрезки $AL_A$, $BL_B$, $CL_C$ являются биссектрисами. Все биссектрисы остроугольного треугольника располагаются внутри него и пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Высоты: Из каждой вершины треугольника опустите перпендикуляр на противоположную сторону. Например, из вершины C опустите перпендикуляр на сторону AB. Точку пересечения этого перпендикуляра со стороной AB назовите $H_C$. Отрезок $CH_C$ является высотой. Аналогично постройте высоты $AH_A$ (из A на BC) и $BH_B$ (из B на AC). Все высоты остроугольного треугольника располагаются внутри него и пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Ответ: В остроугольном треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты находятся внутри треугольника. Точки их пересечения (центроид, инцентр и ортоцентр соответственно) также находятся внутри треугольника.

б) прямоугольный треугольник ABC

Решение

Для построения прямоугольного треугольника ABC нарисуйте две взаимно перпендикулярные стороны (катеты), например, AC и BC, которые образуют прямой угол ($C=90^\circ$). Затем соедините концы катетов (A и B) отрезком AB, который будет являться гипотенузой.

Медианы: Аналогично остроугольному треугольнику, найдите середины каждой стороны. Для стороны AB (гипотенузы) найдите середину $M_C$; для AC — $M_B$; для BC — $M_A$. Проведите медианы $AM_A$, $BM_B$, $CM_C$. Все медианы прямоугольного треугольника находятся внутри него. Медиана, проведенная к гипотенузе ($CM_C$), имеет особое свойство: ее длина равна половине длины гипотенузы ($CM_C = \frac{1}{2}AB$).

Биссектрисы: Постройте биссектрисы каждого угла: угла A, угла B и угла C ($90^\circ$). Все биссектрисы прямоугольного треугольника находятся внутри него и пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности.

Высоты: Из вершины прямого угла C опустите перпендикуляр на гипотенузу AB. Этот отрезок $CH_C$ является высотой. Две другие высоты совпадают с катетами треугольника: высота, проведенная из вершины A на сторону BC, совпадает с катетом AC; высота, проведенная из вершины B на сторону AC, совпадает с катетом BC. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла (точка C).

Ответ: В прямоугольном треугольнике все медианы и биссектрисы находятся внутри треугольника. Две высоты совпадают с катетами, а третья высота проведена из вершины прямого угла на гипотенузу. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

в) тупоугольный треугольник ABC

Решение

Для построения тупоугольного треугольника ABC нарисуйте треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$. Например, постройте треугольник, где угол C будет равен $120^\circ$.

Медианы: Аналогично предыдущим случаям, найдите середины каждой стороны ($M_A$, $M_B$, $M_C$) и соедините вершины с серединами противоположных сторон ($AM_A$, $BM_B$, $CM_C$). Все медианы тупоугольного треугольника находятся внутри него и пересекаются в одной точке (центроиде).

Биссектрисы: Постройте биссектрисы каждого угла (включая тупой угол). Все биссектрисы тупоугольного треугольника находятся внутри него и пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности.

Высоты: Высота, проведенная из вершины тупого угла (C) на противоположную сторону AB, будет находиться внутри треугольника. Однако высоты, проведенные из вершин острых углов (A и B), будут находиться вне треугольника. Для их построения необходимо продлить стороны, на которые опускаются перпендикуляры. Например, чтобы провести высоту из вершины A на сторону BC, необходимо продлить сторону BC за точку C (или за точку B, в зависимости от расположения углов) и опустить перпендикуляр из A на эту прямую. Аналогично для высоты из B на AC. Ортоцентр тупоугольного треугольника всегда находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике медианы и биссектрисы находятся внутри треугольника. Высота, опущенная из тупого угла, находится внутри, а высоты, опущенные из острых углов, находятся вне треугольника (на продолжениях сторон). Ортоцентр тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.