Номер 15, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие:

а) медианы;

б) биссектрисы;

в) высоты.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 15.6 м. Найдите

Дано:

Треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны, то есть $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Найти:

Доказать, что в равных треугольниках равны соответствующие: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.

Решение:

По определению равенства треугольников, если $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то их соответствующие стороны и углы равны. Это означает, что $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$ и $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$.

а) медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$, и $A'M'$ — медиана треугольника $A'B'C'$, проведенная к стороне $B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AM = A'M'$.

Так как $AM$ и $A'M'$ — медианы, то точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $M'$ — серединой стороны $B'C'$. Следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ и $B'M' = M'C' = \frac{1}{2}B'C'$.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $BC = B'C'$. Из этого следует, что $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}B'C'$, а значит $BM = B'M'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A'B'M'$. У них: $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и $BM = B'M'$ (доказано выше).

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), $\triangle ABM \cong \triangle A'B'M'$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A'B'M'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AM = A'M'$.

Ответ:

б) биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$, и $A'L'$ — биссектриса угла $A'$ треугольника $A'B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AL = A'L'$.

Так как $AL$ и $A'L'$ — биссектрисы, то они делят углы пополам. Следовательно, $\angle BAL = \angle LAC = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle B'A'L' = \angle L'A'C' = \frac{1}{2}\angle A'$.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Из этого следует, что $\frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A'$, а значит $\angle BAL = \angle B'A'L'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$. У них: $\angle BAL = \angle B'A'L'$ (доказано выше), $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ), $\triangle ABL \cong \triangle A'B'L'$.

Из равенства треугольников $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AL = A'L'$.

Ответ:

в) высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, и $A'H'$ — высота треугольника $A'B'C'$, проведенная из вершины $A'$ к стороне $B'C'$. Нам необходимо доказать, что $AH = A'H'$.

Так как $AH$ и $A'H'$ — высоты, они перпендикулярны соответствующим сторонам. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle A'H'B' = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$ являются прямоугольными треугольниками.

Поскольку $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$, то $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны) и $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$. У них: гипотенуза $AB = A'B'$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$), и острый угол $\angle B = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$).

Таким образом, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), $\triangle ABH \cong \triangle A'B'H'$. (Также это можно доказать по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), так как $\angle B = \angle B'$, $AB = A'B'$ и $\angle AHB = \angle A'H'B' = 90^\circ$).

Из равенства треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AH = A'H'$.

Ответ: