Страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) основание равно 6, боковые стороны равны 5. Найдите значения тригонометрических функций угла $A$.

Дано

Равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AC = BC = 5$ и основание $AB = 6$.

Перевод данных в СИ:

В данной задаче величины являются безразмерными длинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Значения тригонометрических функций угла $A$: $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$, $\cot A$.

Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AB$ пополам.

Таким образом, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (угол $H$ прямой, т.е. $90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $AHC$ имеем:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + CH^2$

$25 = 9 + CH^2$

Отсюда найдем высоту $CH$:

$CH^2 = 25 - 9$

$CH^2 = 16$

$CH = \sqrt{16} = 4$.

Теперь, зная длины всех сторон прямоугольного треугольника $AHC$ ($AH = 3$, $CH = 4$, $AC = 5$), мы можем найти значения тригонометрических функций угла $A$:

Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{5}$.

Косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5}$.

Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH} = \frac{4}{3}$.

Котангенс угла $A$ равен отношению прилежащего катета к противолежащему:

$\cot A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AH}{CH} = \frac{3}{4}$.

Ответ:

$\sin A = \frac{4}{5}$, $\cos A = \frac{3}{5}$, $\tan A = \frac{4}{3}$, $\cot A = \frac{3}{4}$.

46. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 2$. Найдите высоту $CH$.

Дано:

треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 2$.

Перевод в СИ:

данные уже в подходящих единицах.

Найти:

высота $CH$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Угол $C$ прямой, а угол $A$ равен $30^\circ$.

Высота $CH$ проведена из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Точка $H$ является основанием высоты на гипотенузе $AB$. Следовательно, треугольник $ACH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle CHA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ нам известны:

• угол $A = 30^\circ$
• гипотенуза $AC = 2$

Нам нужно найти катет $CH$, который является противолежащим для угла $A$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла $A$ в треугольнике $ACH$ это будет:

$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$

Выразим $CH$ из этой формулы:

$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения:

$CH = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса $30^\circ$ равно $0.5$ (или $\frac{1}{2}$).

$CH = 2 \cdot 0.5$

$CH = 1$

Ответ: $1$

47. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $120^\circ$. Найдите высоту $AH$.

Дано:

треугольник $abc$

$ac = 2$

$bc = 2$

$\angle c = 120^\circ$

Найти:

высота $ah$

Решение:

построим высоту $ah$ к стороне $bc$. так как угол $c$ равен $120^\circ$, он является тупым. это означает, что основание высоты $h$ будет лежать на продолжении стороны $bc$ за точку $c$.

рассмотрим угол, смежный с углом $c$. этот угол, обозначим его $\angle ach$, находится на одной прямой с отрезком $bc$ и углом $c$.

$\angle ach = 180^\circ - \angle c$

$\angle ach = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ach$. в этом треугольнике:

гипотенуза $ac = 2$ (дано)

угол $\angle ach = 60^\circ$ (вычислено выше)

высота $ah$ является катетом, противолежащим углу $\angle ach$.

используем определение синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ach) = \frac{ah}{ac}$

выразим $ah$ из этого уравнения:

$ah = ac \cdot \sin(\angle ach)$

подставим известные значения:

$ah = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$ah = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$ah = \sqrt{3}$

Ответ:

$\sqrt{3}$

48. Найдите cos A, если:

а) $\sin A = \frac{1}{3}$;

б) $\sin A = \frac{3}{5}$.

a) sin A = 1/3

Дано:
$\sin A = \frac{1}{3}$

Найти:
$\cos A$

Решение: Используем основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
Из этого тождества выразим $\cos^2 A$:
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
Теперь подставим заданное значение $\sin A = \frac{1}{3}$:
$\cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2$
$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{9}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\cos^2 A = \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$
$\cos^2 A = \frac{8}{9}$
Чтобы найти $\cos A$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным, так как квадрат числа всегда положителен.
$\cos A = \pm\sqrt{\frac{8}{9}}$
Разложим корень:
$\cos A = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}$
Упростим $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{9} = 3$:
$\cos A = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\cos A = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

б) sin A = 3/5

Дано:
$\sin A = \frac{3}{5}$

Найти:
$\cos A$

Решение: Снова используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
Выразим $\cos^2 A$:
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
Подставим заданное значение $\sin A = \frac{3}{5}$:
$\cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2$
$\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\cos^2 A = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}$
$\cos^2 A = \frac{16}{25}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, учитывая оба знака:
$\cos A = \pm\sqrt{\frac{16}{25}}$
Разложим корень:
$\cos A = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$
Вычислим корни:
$\cos A = \pm\frac{4}{5}$

Ответ: $\cos A = \pm\frac{4}{5}$

49. Найдите tg A, если:

а) $cos A = \frac{2}{3}$;

б) $cos A = \frac{5}{13}$.

a)

Дано:

$\cos A = \frac{2}{3}$

Найти:

$\text{tg} A$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ и определением тангенса $\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

Сначала найдем значение $\sin A$:
$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$
$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\sin^2 A = 1 - \frac{4}{9}$
$\sin^2 A = \frac{9-4}{9}$
$\sin^2 A = \frac{5}{9}$
$\sin A = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
Поскольку в условии задачи не указано, в какой четверти находится угол $A$, мы можем получить два значения для $\text{tg} A$. Однако, если не указано иное, обычно предполагается, что угол острый (первая четверть), где $\sin A > 0$. Примем $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Теперь найдем $\text{tg} A$:
$\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$
$\text{tg} A = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$
$\text{tg} A = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$
$\text{tg} A = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

б)

Дано:

$\cos A = \frac{5}{13}$

Найти:

$\text{tg} A$

Решение:

Аналогично первому пункту, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ и определением тангенса $\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

Сначала найдем значение $\sin A$:
$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$
$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2$
$\sin^2 A = 1 - \frac{25}{169}$
$\sin^2 A = \frac{169-25}{169}$
$\sin^2 A = \frac{144}{169}$
$\sin A = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$
Примем $\sin A = \frac{12}{13}$ (предполагая, что угол $A$ острый или $\sin A > 0$).

Теперь найдем $\text{tg} A$:
$\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$
$\text{tg} A = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}$
$\text{tg} A = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}$
$\text{tg} A = \frac{12}{5}$

Ответ: $\frac{12}{5}$