Страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

50. Найдите ctg A, если:

a) $tg A = \frac{1}{2}$;

б) $tg A = 2$.

a)

Дано
$tg A = \frac{1}{2}$

Найти:
$ctg A$

Решение
Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла: $tg A \cdot ctg A = 1$.
Из этого тождества выразим $ctg A$: $ctg A = \frac{1}{tg A}$.
Теперь подставим заданное значение $tg A = \frac{1}{2}$ в полученное выражение:
$ctg A = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: $2$

б)

Дано
$tg A = 2$

Найти:
$ctg A$

Решение
Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла: $tg A \cdot ctg A = 1$.
Из этого тождества выразим $ctg A$: $ctg A = \frac{1}{tg A}$.
Теперь подставим заданное значение $tg A = 2$ в полученное выражение:
$ctg A = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

51. Чему равен синус:
а) $120^\circ$;
б) $135^\circ$;
в) $150^\circ$?

а) 120°

Дано:

Угол $\alpha = 120^\circ$

Найти:

$\sin(120^\circ)$

Решение:

Для нахождения синуса угла $120^\circ$ можно использовать формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) 135°

Дано:

Угол $\alpha = 135^\circ$

Найти:

$\sin(135^\circ)$

Решение:

Для нахождения синуса угла $135^\circ$ можно использовать формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) 150°

Дано:

Угол $\alpha = 150^\circ$

Найти:

$\sin(150^\circ)$

Решение:

Для нахождения синуса угла $150^\circ$ можно использовать формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

52. Чему равен косинус: а) 120°; б) 135°; в) 150?

a) 120°

Дано:

Угол $\alpha = 120^\circ$

Найти:

$\cos(\alpha)$

Решение:

Для нахождения косинуса угла $120^\circ$, который находится во второй четверти, воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$

Известно, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) 135°

Дано:

Угол $\alpha = 135^\circ$

Найти:

$\cos(\alpha)$

Решение:

Для нахождения косинуса угла $135^\circ$, который находится во второй четверти, воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$.

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ)$

Известно, что значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) 150°

Дано:

Угол $\alpha = 150^\circ$

Найти:

$\cos(\alpha)$

Решение:

Для нахождения косинуса угла $150^\circ$, который находится во второй четверти, воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$.

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$

Известно, что значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

53. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:

а) меньше суммы квадратов двух других сторон;

б) равен сумме квадратов двух других сторон;

в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Дано: Треугольник со сторонами $a, b, c$. Угол $\alpha$ лежит напротив стороны $a$. Углы треугольника находятся в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Найти: Значения угла $\alpha$ для каждого из следующих условий.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, а угол, лежащий напротив стороны $a$, равен $\alpha$, то теорема косинусов выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

a) меньше суммы квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ меньше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:

$a^2 < b^2 + c^2$

Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) < b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:

$-2bc \cos(\alpha) < 0$

Так как $b$ и $c$ являются длинами сторон треугольника, они всегда положительны ($b > 0$, $c > 0$). Следовательно, произведение $2bc$ также положительно. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\cos(\alpha) > 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике, который по определению находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, косинус положителен, когда угол является острым (т.е., лежит в первой четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть острым.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

б) равен сумме квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ равен сумме квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это равенство:

$a^2 = b^2 + c^2$

Это известное соотношение из теоремы Пифагора. Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это равенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) = b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей уравнения:

$-2bc \cos(\alpha) = 0$

Поскольку $b \ne 0$ и $c \ne 0$, то $2bc \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $-2bc$:

$\cos(\alpha) = 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус равен нулю только тогда, когда угол равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть прямым, то есть $\alpha = 90^\circ$.

в) больше суммы квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ больше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:

$a^2 > b^2 + c^2$

Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:

$-2bc \cos(\alpha) > 0$

Как и в первом случае, $2bc$ является положительным числом. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\cos(\alpha) < 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус отрицателен, когда угол является тупым (т.е., лежит во второй четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть тупым.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть тупым, то есть $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

54. В треугольнике ABC $AB = 12$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$. Найдите третью сторону.

Дано:

В треугольнике $ABC$:

$AB = 12$

$AC = 8$

$\angle A = 60^\circ$

Перевод в СИ: данные величины не требуют перевода в систему СИ для решения данной геометрической задачи.

Найти:

Длину стороны $BC$.

Решение:

Для нахождения третьей стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними, используем теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, для стороны $BC$ теорема косинусов будет выглядеть так:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Известно, что $\cos(60^\circ) = 0.5$.

$BC^2 = 144 + 64 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 0.5$

$BC^2 = 208 - 192 \cdot 0.5$

$BC^2 = 208 - 96$

$BC^2 = 112$

Теперь найдем $BC$, взяв квадратный корень из 112:

$BC = \sqrt{112}$

Разложим число 112 на множители, чтобы извлечь корень:

$112 = 16 \cdot 7$

$BC = \sqrt{16 \cdot 7}$

$BC = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7}$

$BC = 4\sqrt{7}$

Ответ: $4\sqrt{7}$

55. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $150^\circ$. Найдите AB.

Дано:

Треугольник ABC

$AC = 1$

$BC = 1$

$\angle C = 150^\circ$

Перевод в СИ: величины уже представлены в согласованных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

$AB$

Решение:

Так как $AC = BC = 1$, треугольник ABC является равнобедренным. Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(150^\circ)$

Вычислим значение косинуса $150^\circ$:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для $AB^2$:

$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$AB^2 = 2 - (-\sqrt{3})$

$AB^2 = 2 + \sqrt{3}$

Для нахождения $AB$ извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Это выражение можно упростить, используя формулу для упрощения вложенных радикалов $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$.

В нашем случае $A=2$ и $B=3$.

$AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2^2 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2^2 - 3}}{2}}$

$AB = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{4 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{4 - 3}}{2}}$

$AB = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

$AB = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$AB = \frac{(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $AB = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

56. Даны три стороны треугольника $BC=2$, $AC=3$, $AB=4$. Найдите косинусы его углов $A, B, C$.

Дано:

$a = BC = 2$

$b = AC = 3$

$c = AB = 4$

Перевод в СИ:

Единицы измерения сторон не указаны, поэтому преобразование в систему СИ не требуется, предполагается, что они уже в согласованных единицах.

Найти:

$\cos A$, $\cos B$, $\cos C$

Решение:

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Общая формула теоремы косинусов для угла $X$ (противолежащего стороне $x$) и прилежащих сторон $y$ и $z$ выражается как $x^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos X$. Из этой формулы можно выразить косинус угла: $\cos X = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{2yz}$.

Косинус угла A:

Угол A противоположен стороне $a = BC = 2$. Прилежащие стороны к углу A - это $b = AC = 3$ и $c = AB = 4$.

Формула для $\cos A$: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим известные значения:

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

$\cos A = \frac{9 + 16 - 4}{24}$

$\cos A = \frac{25 - 4}{24}$

$\cos A = \frac{21}{24}$

$\cos A = \frac{7}{8}$

Косинус угла B:

Угол B противоположен стороне $b = AC = 3$. Прилежащие стороны к углу B - это $a = BC = 2$ и $c = AB = 4$.

Формула для $\cos B$: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим известные значения:

$\cos B = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4}$

$\cos B = \frac{4 + 16 - 9}{16}$

$\cos B = \frac{20 - 9}{16}$

$\cos B = \frac{11}{16}$

Косинус угла C:

Угол C противоположен стороне $c = AB = 4$. Прилежащие стороны к углу C - это $a = BC = 2$ и $b = AC = 3$.

Формула для $\cos C$: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим известные значения:

$\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3}$

$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$

$\cos C = \frac{13 - 16}{12}$

$\cos C = \frac{-3}{12}$

$\cos C = -\frac{1}{4}$

Ответ:

$\cos A = \frac{7}{8}$, $\cos B = \frac{11}{16}$, $\cos C = -\frac{1}{4}$