Номер 56, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

56. Даны три стороны треугольника $BC=2$, $AC=3$, $AB=4$. Найдите косинусы его углов $A, B, C$.

Дано:

$a = BC = 2$

$b = AC = 3$

$c = AB = 4$

Перевод в СИ:

Единицы измерения сторон не указаны, поэтому преобразование в систему СИ не требуется, предполагается, что они уже в согласованных единицах.

Найти:

$\cos A$, $\cos B$, $\cos C$

Решение:

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Общая формула теоремы косинусов для угла $X$ (противолежащего стороне $x$) и прилежащих сторон $y$ и $z$ выражается как $x^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos X$. Из этой формулы можно выразить косинус угла: $\cos X = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{2yz}$.

Косинус угла A:

Угол A противоположен стороне $a = BC = 2$. Прилежащие стороны к углу A - это $b = AC = 3$ и $c = AB = 4$.

Формула для $\cos A$: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим известные значения:

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

$\cos A = \frac{9 + 16 - 4}{24}$

$\cos A = \frac{25 - 4}{24}$

$\cos A = \frac{21}{24}$

$\cos A = \frac{7}{8}$

Косинус угла B:

Угол B противоположен стороне $b = AC = 3$. Прилежащие стороны к углу B - это $a = BC = 2$ и $c = AB = 4$.

Формула для $\cos B$: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим известные значения:

$\cos B = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4}$

$\cos B = \frac{4 + 16 - 9}{16}$

$\cos B = \frac{20 - 9}{16}$

$\cos B = \frac{11}{16}$

Косинус угла C:

Угол C противоположен стороне $c = AB = 4$. Прилежащие стороны к углу C - это $a = BC = 2$ и $b = AC = 3$.

Формула для $\cos C$: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим известные значения:

$\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3}$

$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$

$\cos C = \frac{13 - 16}{12}$

$\cos C = \frac{-3}{12}$

$\cos C = -\frac{1}{4}$

Ответ:

$\cos A = \frac{7}{8}$, $\cos B = \frac{11}{16}$, $\cos C = -\frac{1}{4}$