Номер 53, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков


Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 53, страница 13.
№53 (с. 13)
Условие. №53 (с. 13)

53. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:
а) меньше суммы квадратов двух других сторон;
б) равен сумме квадратов двух других сторон;
в) больше суммы квадратов двух других сторон?
Решение. №53 (с. 13)


Решение 2 (rus). №53 (с. 13)
Дано: Треугольник со сторонами $a, b, c$. Угол $\alpha$ лежит напротив стороны $a$. Углы треугольника находятся в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Найти: Значения угла $\alpha$ для каждого из следующих условий.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, а угол, лежащий напротив стороны $a$, равен $\alpha$, то теорема косинусов выглядит так:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$
Рассмотрим каждый случай отдельно.
a) меньше суммы квадратов двух других сторон
Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ меньше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:
$a^2 < b^2 + c^2$
Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:
$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) < b^2 + c^2$
Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:
$-2bc \cos(\alpha) < 0$
Так как $b$ и $c$ являются длинами сторон треугольника, они всегда положительны ($b > 0$, $c > 0$). Следовательно, произведение $2bc$ также положительно. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\cos(\alpha) > 0$
Для угла $\alpha$ в треугольнике, который по определению находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, косинус положителен, когда угол является острым (т.е., лежит в первой четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть острым.
Ответ: Угол $\alpha$ должен быть острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
б) равен сумме квадратов двух других сторон
Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ равен сумме квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это равенство:
$a^2 = b^2 + c^2$
Это известное соотношение из теоремы Пифагора. Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это равенство:
$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) = b^2 + c^2$
Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей уравнения:
$-2bc \cos(\alpha) = 0$
Поскольку $b \ne 0$ и $c \ne 0$, то $2bc \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $-2bc$:
$\cos(\alpha) = 0$
Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус равен нулю только тогда, когда угол равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным.
Ответ: Угол $\alpha$ должен быть прямым, то есть $\alpha = 90^\circ$.
в) больше суммы квадратов двух других сторон
Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ больше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:
$a^2 > b^2 + c^2$
Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:
$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$
Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:
$-2bc \cos(\alpha) > 0$
Как и в первом случае, $2bc$ является положительным числом. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\cos(\alpha) < 0$
Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус отрицателен, когда угол является тупым (т.е., лежит во второй четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть тупым.
Ответ: Угол $\alpha$ должен быть тупым, то есть $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 53 расположенного на странице 13 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №53 (с. 13), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.