Номер 53, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

53. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:

а) меньше суммы квадратов двух других сторон;

б) равен сумме квадратов двух других сторон;

в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Дано: Треугольник со сторонами $a, b, c$. Угол $\alpha$ лежит напротив стороны $a$. Углы треугольника находятся в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Найти: Значения угла $\alpha$ для каждого из следующих условий.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, а угол, лежащий напротив стороны $a$, равен $\alpha$, то теорема косинусов выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

a) меньше суммы квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ меньше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:

$a^2 < b^2 + c^2$

Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) < b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:

$-2bc \cos(\alpha) < 0$

Так как $b$ и $c$ являются длинами сторон треугольника, они всегда положительны ($b > 0$, $c > 0$). Следовательно, произведение $2bc$ также положительно. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\cos(\alpha) > 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике, который по определению находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, косинус положителен, когда угол является острым (т.е., лежит в первой четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть острым.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

б) равен сумме квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ равен сумме квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это равенство:

$a^2 = b^2 + c^2$

Это известное соотношение из теоремы Пифагора. Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это равенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) = b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей уравнения:

$-2bc \cos(\alpha) = 0$

Поскольку $b \ne 0$ и $c \ne 0$, то $2bc \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $-2bc$:

$\cos(\alpha) = 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус равен нулю только тогда, когда угол равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть прямым, то есть $\alpha = 90^\circ$.

в) больше суммы квадратов двух других сторон

Нам дано условие, что квадрат стороны $a$ больше суммы квадратов двух других сторон $b$ и $c$. Запишем это неравенство:

$a^2 > b^2 + c^2$

Подставим выражение для $a^2$ из теоремы косинусов в это неравенство:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$

Вычтем $b^2 + c^2$ из обеих частей неравенства:

$-2bc \cos(\alpha) > 0$

Как и в первом случае, $2bc$ является положительным числом. Разделим обе части неравенства на $-2bc$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\cos(\alpha) < 0$

Для угла $\alpha$ в треугольнике ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), косинус отрицателен, когда угол является тупым (т.е., лежит во второй четверти). Таким образом, угол $\alpha$ должен быть тупым.

Ответ: Угол $\alpha$ должен быть тупым, то есть $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.