Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен $30^\circ$.

Дано:

сторона $a = 3 \text{ см}$

сторона $b = 8 \text{ см}$

угол между сторонами $\gamma = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

угол $\gamma = 30^\circ$

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, используется следующая формула:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\gamma$ — угол между этими сторонами.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $30^\circ$ равно $0.5$ (или $\frac{1}{2}$).

$\sin(30^\circ) = 0.5$

Теперь выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0.5$

$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 0.5$

$S = 12 \cdot 0.5$

$S = 6$

Таким образом, площадь треугольника равна $6 \text{ см}^2$.

Ответ:

$6 \text{ см}^2$

и 5 см, а угол между ними равен 30°.

65. Средняя линия трапеции равна 3, высота равна 2. Найдите площадь трапеции.

Дано:
Средняя линия трапеции $m = 3$
Высота трапеции $h = 2$

Перевод в СИ:
Данные приведены в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется, так как конкретные единицы измерения не указаны.

Найти:
Площадь трапеции $S$

Решение:
Площадь трапеции $S$ может быть найдена по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — высота. Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. Подставив выражение для средней линии в формулу площади трапеции, получаем более простую формулу: $S = m \cdot h$. Используя данные из условия задачи: $m = 3$
$h = 2$
Подставим эти значения в формулу для площади: $S = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$

66. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, площадь равна 225 $см^2$.

Найдите ее высоту.

Основание трапеции $a = 35 \text{ см}$
Основание трапеции $b = 10 \text{ см}$
Площадь трапеции $S = 225 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$a = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$
$b = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$
$S = 225 \text{ см}^2 = 225 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 225 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0225 \text{ м}^2$

Высота трапеции $h$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Из этой формулы выразим высоту $h$:
$h = \frac{2S}{a+b}$
Подставим числовые значения из раздела "Дано" (в системе СИ):
$h = \frac{2 \cdot 0.0225 \text{ м}^2}{0.35 \text{ м} + 0.10 \text{ м}}$
$h = \frac{0.045 \text{ м}^2}{0.45 \text{ м}}$
$h = 0.1 \text{ м}$
Для удобства переведем полученное значение высоты обратно в сантиметры:
$h = 0.1 \text{ м} = 0.1 \cdot 100 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Высота трапеции равна $10 \text{ см}$.

67. Высота трапеции равна 20 см, площадь — 400 $см^2$. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

Высота трапеции $h = 20 \text{ см}$

Площадь трапеции $S = 400 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$h = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$S = 400 \text{ см}^2 = 400 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 400 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.04 \text{ м}^2$

Найти:

Средняя линия трапеции $m$

Решение:

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $h$ - ее высота.

Средняя линия трапеции $m$ определяется как полусумма ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Подставив определение средней линии в формулу площади, получаем, что площадь трапеции также может быть выражена как произведение средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

Из этой формулы выразим среднюю линию $m$: $m = \frac{S}{h}$.

Теперь подставим заданные значения площади и высоты в систему СИ:

$m = \frac{0.04 \text{ м}^2}{0.2 \text{ м}}$

$m = 0.2 \text{ м}$

Переведем полученный результат обратно в сантиметры, так как исходные данные были даны в сантиметрах:

$m = 0.2 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 20 \text{ см}$

Ответ:

$20 \text{ см}$

68. Площадь трапеции равна $200$ см$^2$. Одно основание равно $26$ см, высота равна $10$ см. Найдите второе основание трапеции.

Дано

Площадь трапеции $S = 200 \text{ см}^2$

Одно основание $a = 26 \text{ см}$

Высота $h = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.02 \text{ м}^2$

$a = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Второе основание $b$

Решение

Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

$S = \frac{a+b}{2} \times h$

Где $S$ – площадь, $a$ и $b$ – длины оснований, $h$ – высота.

Наша цель – найти второе основание $b$. Выразим $b$ из формулы площади:

$2S = (a+b)h$

Разделим обе части на $h$:

$\frac{2S}{h} = a+b$

И вычтем $a$ из обеих частей:

$b = \frac{2S}{h} - a$

Теперь подставим известные значения (в системе СИ) в эту формулу:

$b = \frac{2 \times 0.02 \text{ м}^2}{0.1 \text{ м}} - 0.26 \text{ м}$

$b = \frac{0.04 \text{ м}^2}{0.1 \text{ м}} - 0.26 \text{ м}$

$b = 0.4 \text{ м} - 0.26 \text{ м}$

$b = 0.14 \text{ м}$

Переведем полученное значение обратно в сантиметры для удобства, так как исходные данные были в сантиметрах:

$b = 0.14 \text{ м} = 0.14 \times 100 \text{ см} = 14 \text{ см}$

Ответ:

14 см

69. Найдите площадь правильного шестиугольника, стороны которого равны 1.

Дано:

Сторона правильного шестиугольника: $a = 1$.

Найти:

Площадь правильного шестиугольника: $S$.

Решение:

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равных правильных (равносторонних) треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Так как правильный шестиугольник состоит из 6 таких треугольников, его общая площадь будет в 6 раз больше площади одного треугольника:

$S = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Подставим заданное значение стороны $a = 1$ в формулу площади шестиугольника:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (1)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

70. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 6 и 8, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь этого четырехугольника.

Дано:

$d_1 = 6$

$d_2 = 8$

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

$S$

Решение:

Площадь выпуклого четырехугольника может быть найдена по формуле, которая связывает длины его диагоналей и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей, а $\alpha$ - угол между ними.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{4} \cdot (6 \cdot 8)$

$S = \frac{1}{4} \cdot 48$

$S = 12$

Ответ: 12