Страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Найдите площадь прямоугольника, сторона которого равна 6, а
диагональ равна 10.

Дано:

Сторона прямоугольника $a = 6$

Диагональ прямоугольника $d = 10$

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты производятся в исходных условных единицах длины.

Найти:

Площадь прямоугольника $S$

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ $d$ прямоугольника образует прямоугольный треугольник с его сторонами. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения: $a = 6$ и $d = 10$:

$6^2 + b^2 = 10^2$

Вычислим квадраты чисел:

$36 + b^2 = 100$

Чтобы найти $b^2$, вычтем $36$ из обеих частей уравнения:

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

Чтобы найти значение второй стороны $b$, извлечем квадратный корень из $64$:

$b = \sqrt{64}$

$b = 8$

Теперь, когда обе стороны прямоугольника известны ($a = 6$ и $b = 8$), мы можем найти его площадь $S$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$

Подставим значения $a$ и $b$:

$S = 6 \cdot 8$

$S = 48$

Ответ:

Площадь прямоугольника равна $48$ квадратных единиц.

Диагональ равна 10.

58. Найдите площадь квадрата по его диагонали $a$.

Дано:

диагональ квадрата $a$

Найти:

площадь квадрата $S$

Решение:

Пусть сторона квадрата равна $x$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

$S = x^2$

Диагональ квадрата, две его стороны и прямой угол между ними образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов двух сторон:

$x^2 + x^2 = a^2$

Упростим это выражение:

$2x^2 = a^2$

Выразим $x^2$ из этого уравнения:

$x^2 = \frac{a^2}{2}$

Поскольку $S = x^2$, подставим полученное выражение для $x^2$ в формулу площади:

$S = \frac{a^2}{2}$

Ответ:

Площадь квадрата по его диагонали $a$ равна $S = \frac{a^2}{2}$.

59. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

Дано:

Площадь первого (большого) квадрата $S_1 = 1$.

Найти:

Площадь второго (вписанного) квадрата $S_2$, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата.

Решение:

Пусть сторона первого квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ выражается формулой $S_1 = a^2$.

Из условия задачи дано, что $S_1 = 1$. Следовательно, $a^2 = 1$, откуда $a = 1$ (так как длина стороны не может быть отрицательной).

Вершины второго квадрата расположены в серединах сторон первого квадрата. Это означает, что каждая сторона второго квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного углом первого квадрата и двумя отрезками, соединяющими этот угол с серединами прилегающих сторон.

Катеты такого прямоугольного треугольника будут равны половине стороны первого квадрата, то есть $a/2$. В нашем случае, так как $a=1$, катеты равны $1/2$.

Обозначим сторону второго квадрата как $b$. По теореме Пифагора для такого прямоугольного треугольника имеем:

$b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2$

$b^2 = a^2/4 + a^2/4$

$b^2 = 2a^2/4$

$b^2 = a^2/2$

Площадь второго квадрата $S_2$ равна $b^2$.

Таким образом, $S_2 = a^2/2$.

Подставим известное значение $a^2 = 1$ в формулу для $S_2$:

$S_2 = 1/2$

Ответ: $1/2$

60. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$.

Дано:

Стороны параллелограмма: $a = 8$ см, $b = 10$ см.

Перевод в СИ:

$a = 8$ см $= 0.08$ м

$b = 10$ см $= 0.1$ м

Угол между сторонами $\alpha$:

а) $\alpha = 30^\circ$

б) $\alpha = 45^\circ$

в) $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь параллелограмма $S$ для каждого случая.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ - длины сторон, а $\alpha$ - угол между ними.

а) 30°

При $\alpha = 30^\circ$:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ)$

$S = 80 \cdot 0.5$

$S = 40$ см$^{2}$

Ответ: $40$ см$^{2}$

б) 45°

При $\alpha = 45^\circ$:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)$

$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 40\sqrt{2}$ см$^{2}$

Ответ: $40\sqrt{2}$ см$^{2}$

в) 60°

При $\alpha = 60^\circ$:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$

$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 40\sqrt{3}$ см$^{2}$

Ответ: $40\sqrt{3}$ см$^{2}$

61. Площадь параллелограмма равна $40 \text{ см}^2$, стороны — $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$.

Найдите высоты этого параллелограмма.

Дано:

Площадь параллелограмма: $S = 40 \text{ см}^2$

Длина первой стороны: $a = 5 \text{ см}$

Длина второй стороны: $b = 10 \text{ см}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$S = 40 \text{ см}^2 = 40 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 40 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.004 \text{ м}^2$

$a = 5 \text{ см} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

$b = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Высота, проведенная к стороне $a$: $h_a$

Высота, проведенная к стороне $b$: $h_b$

Решение:

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = \text{сторона} \cdot \text{высота}$, где высота проведена к данной стороне. То есть, $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$.

Для нахождения высоты $h_a$, проведенной к стороне $a$, выразим ее из формулы площади:

$h_a = \frac{S}{a}$

Подставим известные значения:

$h_a = \frac{40 \text{ см}^2}{5 \text{ см}} = 8 \text{ см}$

Для нахождения высоты $h_b$, проведенной к стороне $b$, выразим ее из формулы площади:

$h_b = \frac{S}{b}$

Подставим известные значения:

$h_b = \frac{40 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 4 \text{ см}$

Ответ:

Высоты параллелограмма равны 8 см и 4 см.

Найдите высоты этого параллелограмма.

62. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь треугольника.

Дано:

Равнобедренный треугольник

Боковая сторона $a = 5$

Основание $b = 6$

Найти:

Площадь треугольника $S$

Решение:

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота, опущенная на это основание.

Высота в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, делит его пополам. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где гипотенузой является боковая сторона, один катет — половина основания, а другой катет — высота.

Обозначим высоту как $h$. Половина основания будет равна $\frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Применяем теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:

$h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2$

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 25 - 9$

$h^2 = 16$

$h = \sqrt{16}$

$h = 4$

Теперь, зная высоту и основание, найдем площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2}bh$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4$

$S = 3 \cdot 4$

$S = 12$

Ответ: $12$.

63. Площадь треугольника равна 30. Одна его сторона равна 10. Найдите высоту, опущенную на эту сторону.

Дано:

Площадь треугольника $S = 30$

Длина стороны $a = 10$

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны в задаче, поэтому перевод не требуется. Предполагается, что все величины даны в согласованных единицах.

Найти:

Высота $h$, опущенная на данную сторону.

Решение:

Формула для площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:

$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$

Упростим правую часть уравнения:

$30 = 5 \cdot h$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на 5:

$h = \frac{30}{5}$

$h = 6$

Ответ:

Высота, опущенная на эту сторону, равна 6.