Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

80. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $C(0; 6)$ и $B$ являются вершинами параллелограмма $OABC$. Найдите координаты точки $B$.

Дано:

Вершины параллелограмма $OABC$: $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $C(0; 6)$.

Перевод всех данных в систему СИ: Координаты точек не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Координаты точки $B(x_B; y_B)$.

Решение:

В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. В параллелограмме $OABC$ диагоналями являются отрезки $AC$ и $OB$. Пусть точка $M$ является серединой обеих диагоналей.

Сначала найдем координаты середины диагонали $AC$. Используем формулу для нахождения координат середины отрезка, заданного точками $P(x_1; y_1)$ и $Q(x_2; y_2)$: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Для диагонали $AC$ с точками $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, середина диагонали $AC$ имеет координаты $M(3; 4)$.

Поскольку $M$ также является серединой диагонали $OB$, мы можем использовать ее координаты для нахождения координат точки $B$. Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B; y_B)$.

Для диагонали $OB$ с точками $O(0; 0)$ и $B(x_B; y_B)$:

$x_M = \frac{x_O + x_B}{2} = \frac{0 + x_B}{2} = \frac{x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_O + y_B}{2} = \frac{0 + y_B}{2} = \frac{y_B}{2}$

Приравнивая найденные координаты точки $M$ с выражениями через $x_B$ и $y_B$:

$\frac{x_B}{2} = 3 \Rightarrow x_B = 3 \cdot 2 = 6$

$\frac{y_B}{2} = 4 \Rightarrow y_B = 4 \cdot 2 = 8$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(6; 8)$.

Ответ: Координаты точки $B(6; 8)$.

81. Точки $O(0; 0)$, $A(8; 2)$, $B(10; 8)$, $C(2; 6)$ являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Дано

Вершины параллелограмма: $O(0; 0)$, $A(8; 2)$, $B(10; 8)$, $C(2; 6)$.

Найти:

Координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Решение

Свойство параллелограмма гласит, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $P$ пересечения диагоналей является серединой каждой из них.

Для нахождения координат середины отрезка, соединяющего две точки $D(x_1; y_1)$ и $E(x_2; y_2)$, используются следующие формулы:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Предположим, что вершины параллелограмма перечислены в циклическом порядке $O$, $A$, $B$, $C$. Тогда его диагоналями будут отрезки $OB$ и $AC$. Точка $P$ является серединой отрезка $OB$ и одновременно серединой отрезка $AC$.

Возьмем координаты вершин $O(0; 0)$ и $B(10; 8)$ для диагонали $OB$. Найдем координаты точки $P$ как середины отрезка $OB$:

$x_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, координаты точки $P$ равны $(5; 4)$.

Для проверки, найдем координаты середины отрезка $AC$, используя вершины $A(8; 2)$ и $C(2; 6)$:

$x_P = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба расчета дают одинаковые координаты для точки $P$, что подтверждает правильность решения и то, что данные точки являются вершинами параллелограмма $OABC$.

Ответ:

Координаты точки $P$ пересечения диагоналей параллелограмма: $(5; 4)$.

82. Найдите расстояние между точками:
а) $A_1(2; 1)$ и $A_2(1; -1)$;
б) $B_1(4; 3)$ и $B_2(-1; 3)$.

a)

Дано:

точки $a_1(2; 1)$ и $a_2(1; -1)$.

Найти:

расстояние между точками $a_1$ и $a_2$, обозначим его $d_{a_1a_2}$.

Решение:

для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

в нашем случае, для точек $a_1(2; 1)$ и $a_2(1; -1)$ имеем:

$x_1 = 2$, $y_1 = 1$

$x_2 = 1$, $y_2 = -1$

подставим эти значения в формулу:

$d_{a_1a_2} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-1 - 1)^2}$

$d_{a_1a_2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2}$

$d_{a_1a_2} = \sqrt{1 + 4}$

$d_{a_1a_2} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

б)

Дано:

точки $b_1(4; 3)$ и $b_2(-1; 3)$.

Найти:

расстояние между точками $b_1$ и $b_2$, обозначим его $d_{b_1b_2}$.

Решение:

для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

в нашем случае, для точек $b_1(4; 3)$ и $b_2(-1; 3)$ имеем:

$x_1 = 4$, $y_1 = 3$

$x_2 = -1$, $y_2 = 3$

подставим эти значения в формулу:

$d_{b_1b_2} = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (3 - 3)^2}$

$d_{b_1b_2} = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$

$d_{b_1b_2} = \sqrt{25 + 0}$

$d_{b_1b_2} = \sqrt{25}$

$d_{b_1b_2} = 5$

Ответ: $5$

83. Найдите расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

Дано:

Точка $A(3; 2)$.

Найти:

a) Расстояние от точки $A$ до оси $Ox$.

б) Расстояние от точки $A$ до оси $Oy$.

Решение:

Расстояние от точки до оси координат определяется абсолютным значением координаты, соответствующей другой оси.

a) $Ox$

Расстояние от точки $A(x_A; y_A)$ до оси $Ox$ (уравнение которой $y=0$) равно абсолютной величине ординаты точки $A$.

Формула расстояния $d_{Ox} = |y_A|$.

Для точки $A(3; 2)$ имеем:

$d_{Ox} = |2| = 2$.

Ответ: $2$.

б) $Oy$

Расстояние от точки $A(x_A; y_A)$ до оси $Oy$ (уравнение которой $x=0$) равно абсолютной величине абсциссы точки $A$.

Формула расстояния $d_{Oy} = |x_A|$.

Для точки $A(3; 2)$ имеем:

$d_{Oy} = |3| = 3$.

Ответ: $3$.

84. Какая из точек $A(1; 2)$ или $B(1; -2)$ лежит ближе к началу координат?

Дано:

Точка A: $(1; 2)$

Точка B: $(1; -2)$

Начало координат O: $(0; 0)$

Найти:

Какая из точек (A или B) лежит ближе к началу координат.

Решение:

Для определения, какая из точек лежит ближе к началу координат, необходимо вычислить расстояние от каждой точки до начала координат. Расстояние от точки $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

1. Вычислим расстояние от точки A(1; 2) до начала координат:

$d_A = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

2. Вычислим расстояние от точки B(1; -2) до начала координат:

$d_B = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Сравнивая полученные расстояния, видим, что $d_A = \sqrt{5}$ и $d_B = \sqrt{5}$. Таким образом, обе точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ:

Обе точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

85. Найдите координаты центра $C$ и радиус $R$ окружности, заданной уравнением:

a) $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16;$

б) $x^2 + (y - 3)^2 = 9.$

a)

Дано

Уравнение окружности: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Найти:

Координаты центра $C(x_0, y_0)$ и радиус $R$.

Решение

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Сравнивая данное уравнение $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$ со стандартным уравнением, мы можем определить значения $x_0$, $y_0$ и $R^2$.

Для координаты $x$: $x - x_0 = x + 5$, следовательно $x_0 = -5$.

Для координаты $y$: $y - y_0 = y - 2$, следовательно $y_0 = 2$.

Для радиуса: $R^2 = 16$. Чтобы найти $R$, извлекаем квадратный корень: $R = \sqrt{16} = 4$ (радиус всегда является положительной величиной).

Ответ: Координаты центра $C(-5, 2)$, радиус $R = 4$.

б)

Дано

Уравнение окружности: $x^2 + (y - 3)^2 = 9$

Найти:

Координаты центра $C(x_0, y_0)$ и радиус $R$.

Решение

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Перепишем данное уравнение $x^2 + (y - 3)^2 = 9$ в более явном виде для сравнения со стандартным: $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 9$.

Сравнивая это уравнение со стандартным, мы можем определить значения $x_0$, $y_0$ и $R^2$.

Для координаты $x$: $x - x_0 = x - 0$, следовательно $x_0 = 0$.

Для координаты $y$: $y - y_0 = y - 3$, следовательно $y_0 = 3$.

Для радиуса: $R^2 = 9$. Чтобы найти $R$, извлекаем квадратный корень: $R = \sqrt{9} = 3$ (радиус всегда является положительной величиной).

Ответ: Координаты центра $C(0, 3)$, радиус $R = 3$.

уравнением: а) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16$; b) $x^2 + (y-3)^2 = 9$.

86. Напишите уравнение окружности:

а) с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом 1;

б) с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом 3.

а) с центром в точке O(0; 0) и радиусом 1

Дано

Центр окружности: $O(x_0; y_0) = O(0; 0)$

Радиус окружности: $R = 1$

Перевод в СИ: Не требуется, так как координаты и радиус являются безразмерными величинами в рамках данной геометрической задачи.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Подставляем значения $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и $R = 1$ в общее уравнение:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$

б) с центром в точке C(-2; 1) и радиусом 3

Дано

Центр окружности: $C(x_0; y_0) = C(-2; 1)$

Радиус окружности: $R = 3$

Перевод в СИ: Не требуется, так как координаты и радиус являются безразмерными величинами в рамках данной геометрической задачи.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Подставляем значения $x_0 = -2$, $y_0 = 1$ и $R = 3$ в общее уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

87. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку A(3; 3).

Дано:
Центр окружности $C = (0; 0)$
Точка на окружности $A = (3; 3)$

Найти:
Уравнение окружности.

Решение:
Общее уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ имеет вид $
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
В данном случае центр окружности находится в начале координат, то есть $h = 0$ и $k = 0$.
Следовательно, уравнение окружности принимает вид:
$x^2 + y^2 = r^2$.
Окружность проходит через точку $A(3; 3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 3$ и $y = 3$ в уравнение, чтобы найти $r^2$:
$3^2 + 3^2 = r^2$
$9 + 9 = r^2$
$18 = r^2$.
Теперь, зная $r^2$, подставим его обратно в уравнение окружности:
$x^2 + y^2 = 18$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 18$.

88. Докажите, что уравнение:a) $x^2 - 8x + y^2 = 0$;б) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

Для того чтобы доказать, что уравнение задает окружность, необходимо привести его к стандартному виду: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Уравнение задает окружность, если $R^2 > 0$. Если $R^2 \le 0$, то уравнение не задает окружность (точка или пустое множество).

а)

Дано

Уравнение: $x^2 - 8x + y^2 = 0$

Найти:

Доказать, что уравнение задает окружность. Найти ее радиус и координаты центра.

Решение

Перегруппируем члены уравнения и выделим полные квадраты.

Уравнение $x^2 - 8x + y^2 = 0$ можно переписать, дополнив выражение для $x$ до полного квадрата. Для этого к $x^2 - 8x$ нужно прибавить $(\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16$. Чтобы уравнение осталось верным, это же число нужно прибавить к правой части.

$(x^2 - 8x + 16) + y^2 = 16$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

Сравним полученное уравнение со стандартным видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае $a = 4$, $b = 0$. Координаты центра $O(a, b)$ равны $(4, 0)$.

Радиус в квадрате $R^2 = 16$. Поскольку $R^2 = 16 > 0$, уравнение действительно задает окружность.

Радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра $O(4, 0)$, радиус $R = 4$. Уравнение задает окружность.

б)

Дано

Уравнение: $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$

Найти:

Доказать, что уравнение задает окружность. Найти ее радиус и координаты центра.

Решение

Перегруппируем члены уравнения и выделим полные квадраты для $x$ и $y$ одновременно.

Для членов с $x$: $x^2 + 2x$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.

Для членов с $y$: $y^2 - 6y$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить $(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$.

Исходное уравнение:

$x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$

Добавим и вычтем необходимые числа для полных квадратов:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 4 = 0$

Сгруппируем полные квадраты:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 4 = 0$

Вычислим постоянные члены:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 6 = 0$

Перенесем постоянный член в правую часть:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 6$

Сравним полученное уравнение со стандартным видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае $x - a = x + 1 \Rightarrow a = -1$.

И $y - b = y - 3 \Rightarrow b = 3$.

Координаты центра $O(a, b)$ равны $(-1, 3)$.

Радиус в квадрате $R^2 = 6$. Поскольку $R^2 = 6 > 0$, уравнение действительно задает окружность.

Радиус $R = \sqrt{6}$.

Ответ: Координаты центра $O(-1, 3)$, радиус $R = \sqrt{6}$. Уравнение задает окружность.

89. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a_1}(2; -1)$ и $\vec{a_2}(-1; 2)$.

Дано

Вектор $\vec{a_1}(2; -1)$

Вектор $\vec{a_2}(-1; 2)$

Найти:

Скалярное произведение $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}$

Решение

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ в декартовой системе координат вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Для данных векторов $\vec{a_1}(2; -1)$ и $\vec{a_2}(-1; 2)$ имеем следующие координаты:

$x_1 = 2$, $y_1 = -1$

$x_2 = -1$, $y_2 = 2$

Подставим значения координат в формулу скалярного произведения:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (2) \cdot (-1) + (-1) \cdot (2)$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = -2 - 2$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = -4$

Ответ:

Скалярное произведение векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ равно $-4$.

90. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

a) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

Дано
Уравнения прямых.

Перевод данных в систему СИ: Коэффициенты уравнений прямых не требуют перевода в систему СИ, так как являются безразмерными величинами.

Найти:
Угол между прямыми.

Решение

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно использовать формулу косинуса угла $\phi$ между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$: $\cos \phi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$. Особый случай: если $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$, то нормальные векторы ортогональны, и прямые перпендикулярны. В этом случае угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

а) Даны уравнения прямых: 1. $2x + y - 1 = 0$ 2. $x - 2y + 3 = 0$
Для первой прямой $A_1 = 2$, $B_1 = 1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.
Для второй прямой $A_2 = 1$, $B_2 = -2$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 = (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ ортогональны. Это означает, что прямые перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

б) Даны уравнения прямых: 1. $x + y + 1 = 0$ 2. $x - y - 1 = 0$
Для первой прямой $A_1 = 1$, $B_1 = 1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.
Для второй прямой $A_2 = 1$, $B_2 = -1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ ортогональны. Это означает, что прямые перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

91. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ с вектором нормали $\vec{n}(1; -1)$.

Дано:

Точка $A_0(2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(1; -1)$

Перевод всех данных в систему СИ: Не требуется, так как задача относится к аналитической геометрии и не содержит физических величин.

Найти:

Уравнение прямой.

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(x_0; y_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A; B)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

В данном случае мы имеем следующие значения:

$x_0 = 2$

$y_0 = 1$

$A = 1$ (координата x вектора нормали)

$B = -1$ (координата y вектора нормали)

Подставим эти значения в общее уравнение прямой:

$1(x - 2) + (-1)(y - 1) = 0$

Раскроем скобки:

$x - 2 - y + 1 = 0$

Приведем подобные члены:

$x - y - 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ:

$x - y - 1 = 0$

92. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 3)$, $N(1; 4)$. Найдите координаты вектора нормали этой прямой.

Дано:

Точки $M(-1; 3)$ и $N(1; 4)$.

Найти:

Уравнение прямой, проходящей через точки $M$ и $N$.

Координаты вектора нормали этой прямой.

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через точки M(-1; 3), N(1; 4)

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используем формулу:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $M(-1, 3)$ (где $x_1 = -1$, $y_1 = 3$) и $N(1, 4)$ (где $x_2 = 1$, $y_2 = 4$):

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{1}$

Чтобы избавиться от дробей, выполним перекрестное умножение:

$1 \cdot (x + 1) = 2 \cdot (y - 3)$

$x + 1 = 2y - 6$

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы привести его к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x - 2y + 1 + 6 = 0$

$x - 2y + 7 = 0$

Ответ: $x - 2y + 7 = 0$

Координаты вектора нормали этой прямой

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид $Ax + By + C = 0$. Координаты вектора нормали $\vec{n}$, перпендикулярного этой прямой, определяются коэффициентами $A$ и $B$ как $\vec{n}(A, B)$.

Из полученного нами уравнения прямой $x - 2y + 7 = 0$ видно, что коэффициент при $x$ (который является $A$) равен $1$, а коэффициент при $y$ (который является $B$) равен $-2$.

Следовательно, координаты вектора нормали этой прямой: $\vec{n}(1, -2)$.

Ответ: $\vec{n}(1, -2)$

93. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Дано:
Пары линейных уравнений, представляющих прямые:
1) $x + y - 2 = 0$, $x + y + 3 = 0$;
2) $x + y - 2 = 0$, $x - y - 3 = 0$;
3) $-7x + y = 0$, $7x - y + 4 = 0$;
4) $4x - 2y - 8 = 0$, $-x - 2y + 4 = 0$.

Найти:
Для каждой пары прямых определить, являются ли они параллельными или перпендикулярными.

Решение:

Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Нормальный вектор к этой прямой равен $\vec{n} = (A, B)$.

Для двух прямых, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, с соответствующими нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$, выполняются следующие условия:

Прямые являются параллельными, если их нормальные векторы коллинеарны. Это означает, что выполняется условие $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$.

Прямые являются перпендикулярными, если их нормальные векторы ортогональны (их скалярное произведение равно нулю). Это означает, что выполняется условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Рассмотрим каждую пару прямых для определения их параллельности или перпендикулярности.

а) параллельны

1) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x + y + 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = 1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (1)(1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, эти прямые параллельны.
Ответ: Параллельны

2) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x - y - 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$, эти прямые не параллельны.
Ответ: Не параллельны

3) Пара прямых: $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Для первой прямой $-7x + y = 0$: $A_1 = -7, B_1 = 1$.
Для второй прямой $7x - y + 4 = 0$: $A_2 = 7, B_2 = -1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (-7)(-1) - (7)(1) = 7 - 7 = 0$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, эти прямые параллельны.
Ответ: Параллельны

4) Пара прямых: $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Для первой прямой $4x - 2y - 8 = 0$: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Для второй прямой $-x - 2y + 4 = 0$: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (4)(-2) - (-1)(-2) = -8 - 2 = -10$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$, эти прямые не параллельны.
Ответ: Не параллельны

б) перпендикулярны

1) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x + y + 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = 1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 \neq 0$, эти прямые не перпендикулярны.
Ответ: Не перпендикулярны

2) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x - y - 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$, эти прямые перпендикулярны.
Ответ: Перпендикулярны

3) Пара прямых: $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Для первой прямой $-7x + y = 0$: $A_1 = -7, B_1 = 1$.
Для второй прямой $7x - y + 4 = 0$: $A_2 = 7, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (-7)(7) + (1)(-1) = -49 - 1 = -50$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 \neq 0$, эти прямые не перпендикулярны.
Ответ: Не перпендикулярны

4) Пара прямых: $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Для первой прямой $4x - 2y - 8 = 0$: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Для второй прямой $-x - 2y + 4 = 0$: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (4)(-1) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$, эти прямые перпендикулярны.
Ответ: Перпендикулярны

94. Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $x - y - 1 = 0, x + y + 3 = 0;$

б) $x - 3y + 2 = 0, 2x - 5y + 1 = 0.$

а)

Дано:

Две прямые заданы уравнениями:

$x - y - 1 = 0$

$x + y + 3 = 0$

Перевод данных в систему СИ: Координаты являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Координаты точки пересечения прямых $(x, y)$.

Решение:

Для нахождения координат точки пересечения прямых необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

Перепишем уравнения, выразив константы в правой части:

$\begin{cases} x - y = 1 \quad (1) \\ x + y = -3 \quad (2) \end{cases}$

Сложим уравнение (1) и уравнение (2) для исключения переменной $y$:

$(x - y) + (x + y) = 1 + (-3)$

$2x = -2$

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ в уравнение (2):

$-1 + y = -3$

$y = -3 + 1$

$y = -2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1, -2)$

б)

Дано:

Две прямые заданы уравнениями:

$x - 3y + 2 = 0$

$2x - 5y + 1 = 0$

Перевод данных в систему СИ: Координаты являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Координаты точки пересечения прямых $(x, y)$.

Решение:

Для нахождения координат точки пересечения прямых необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y + 2 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем уравнения, выразив константы в правой части:

$\begin{cases} x - 3y = -2 \quad (1) \\ 2x - 5y = -1 \quad (2) \end{cases}$

Умножим уравнение (1) на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали равными:

$2 \cdot (x - 3y) = 2 \cdot (-2)$

$2x - 6y = -4 \quad (3)$

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

$(2x - 5y) - (2x - 6y) = -1 - (-4)$

$2x - 5y - 2x + 6y = -1 + 4$

$y = 3$

Подставим значение $y = 3$ в уравнение (1):

$x - 3 \cdot (3) = -2$

$x - 9 = -2$

$x = -2 + 9$

$x = 7$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: $(7, 3)$.

Ответ: $(7, 3)$

95. Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Найдите координаты вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Дано:

Вектор $\vec{a}(-1; 2)$

Вектор $\vec{b}(2; -4)$

Найти:

Координаты вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Решение:

Сначала найдем координаты вектора $3\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр 3:

$3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 2) = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2) = (-3; 6)$

Затем найдем координаты вектора $2\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр 2:

$2\vec{b} = 2 \cdot (2; -4) = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-4)) = (4; -8)$

Теперь найдем координаты вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$. Для этого вычтем соответствующие координаты второго вектора из координат первого вектора:

$3\vec{a} - 2\vec{b} = (-3; 6) - (4; -8)$

Вычитаем x-координаты: $-3 - 4 = -7$

Вычитаем y-координаты: $6 - (-8) = 6 + 8 = 14$

Таким образом, координаты искомого вектора: $(-7; 14)$.

Ответ:

$(-7; 14)$

96. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}_1(1; 3)$ и $\vec{a}_2(3; -1)$.

Дано

Вектор $\vec{a_1}$ имеет координаты $(1; 3)$.

Вектор $\vec{a_2}$ имеет координаты $(3; -1)$.

Перевод в систему СИ

Данные величины не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Скалярное произведение векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$, то есть $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}$.

Решение

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ в декартовой системе координат вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Подставим координаты данных векторов $\vec{a_1}(1; 3)$ и $\vec{a_2}(3; -1)$ в эту формулу:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (1)(3) + (3)(-1)$

Выполним умножение и сложение:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 3 - 3$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$

Ответ: $0$

97. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a_1}(3; 4) $ и $ \vec{a_2}(4; 3) $.

Дано:
вектор $\vec{a_1}(3; 4)$
вектор $\vec{a_2}(4; 3)$

(Перевод в систему СИ не требуется, так как координаты векторов являются безразмерными величинами в данном контексте.)

Найти:
косинус угла между векторами $\cos(\theta)$

Решение:
Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - их длины (модули).

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$: $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2)$
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (3 \cdot 4) + (4 \cdot 3) = 12 + 12 = 24$

2. Найдем длины (модули) векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$: Длина вектора $\vec{a}(x; y)$ находится по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|\vec{a_1}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{a_2}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\theta) = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}$

Ответ:
$\frac{24}{25}$