Номер 93, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

93. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Дано:
Пары линейных уравнений, представляющих прямые:
1) $x + y - 2 = 0$, $x + y + 3 = 0$;
2) $x + y - 2 = 0$, $x - y - 3 = 0$;
3) $-7x + y = 0$, $7x - y + 4 = 0$;
4) $4x - 2y - 8 = 0$, $-x - 2y + 4 = 0$.

Найти:
Для каждой пары прямых определить, являются ли они параллельными или перпендикулярными.

Решение:

Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Нормальный вектор к этой прямой равен $\vec{n} = (A, B)$.

Для двух прямых, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, с соответствующими нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$, выполняются следующие условия:

Прямые являются параллельными, если их нормальные векторы коллинеарны. Это означает, что выполняется условие $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$.

Прямые являются перпендикулярными, если их нормальные векторы ортогональны (их скалярное произведение равно нулю). Это означает, что выполняется условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Рассмотрим каждую пару прямых для определения их параллельности или перпендикулярности.

а) параллельны

1) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x + y + 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = 1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (1)(1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, эти прямые параллельны.
Ответ: Параллельны

2) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x - y - 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$, эти прямые не параллельны.
Ответ: Не параллельны

3) Пара прямых: $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Для первой прямой $-7x + y = 0$: $A_1 = -7, B_1 = 1$.
Для второй прямой $7x - y + 4 = 0$: $A_2 = 7, B_2 = -1$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (-7)(-1) - (7)(1) = 7 - 7 = 0$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, эти прямые параллельны.
Ответ: Параллельны

4) Пара прямых: $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Для первой прямой $4x - 2y - 8 = 0$: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Для второй прямой $-x - 2y + 4 = 0$: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие параллельности: $A_1B_2 - A_2B_1 = (4)(-2) - (-1)(-2) = -8 - 2 = -10$.
Поскольку $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$, эти прямые не параллельны.
Ответ: Не параллельны

б) перпендикулярны

1) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x + y + 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = 1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 \neq 0$, эти прямые не перпендикулярны.
Ответ: Не перпендикулярны

2) Пара прямых: $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Для первой прямой $x + y - 2 = 0$: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Для второй прямой $x - y - 3 = 0$: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$, эти прямые перпендикулярны.
Ответ: Перпендикулярны

3) Пара прямых: $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Для первой прямой $-7x + y = 0$: $A_1 = -7, B_1 = 1$.
Для второй прямой $7x - y + 4 = 0$: $A_2 = 7, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (-7)(7) + (1)(-1) = -49 - 1 = -50$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 \neq 0$, эти прямые не перпендикулярны.
Ответ: Не перпендикулярны

4) Пара прямых: $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Для первой прямой $4x - 2y - 8 = 0$: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Для второй прямой $-x - 2y + 4 = 0$: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = (4)(-1) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$.
Поскольку $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$, эти прямые перпендикулярны.
Ответ: Перпендикулярны