Номер 90, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

90. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

a) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

Дано
Уравнения прямых.

Перевод данных в систему СИ: Коэффициенты уравнений прямых не требуют перевода в систему СИ, так как являются безразмерными величинами.

Найти:
Угол между прямыми.

Решение

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно использовать формулу косинуса угла $\phi$ между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$: $\cos \phi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$. Особый случай: если $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$, то нормальные векторы ортогональны, и прямые перпендикулярны. В этом случае угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

а) Даны уравнения прямых: 1. $2x + y - 1 = 0$ 2. $x - 2y + 3 = 0$
Для первой прямой $A_1 = 2$, $B_1 = 1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.
Для второй прямой $A_2 = 1$, $B_2 = -2$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 = (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ ортогональны. Это означает, что прямые перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

б) Даны уравнения прямых: 1. $x + y + 1 = 0$ 2. $x - y - 1 = 0$
Для первой прямой $A_1 = 1$, $B_1 = 1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.
Для второй прямой $A_2 = 1$, $B_2 = -1$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ ортогональны. Это означает, что прямые перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.