Номер 88, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

88. Докажите, что уравнение:a) $x^2 - 8x + y^2 = 0$;б) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

Для того чтобы доказать, что уравнение задает окружность, необходимо привести его к стандартному виду: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Уравнение задает окружность, если $R^2 > 0$. Если $R^2 \le 0$, то уравнение не задает окружность (точка или пустое множество).

а)

Дано

Уравнение: $x^2 - 8x + y^2 = 0$

Найти:

Доказать, что уравнение задает окружность. Найти ее радиус и координаты центра.

Решение

Перегруппируем члены уравнения и выделим полные квадраты.

Уравнение $x^2 - 8x + y^2 = 0$ можно переписать, дополнив выражение для $x$ до полного квадрата. Для этого к $x^2 - 8x$ нужно прибавить $(\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16$. Чтобы уравнение осталось верным, это же число нужно прибавить к правой части.

$(x^2 - 8x + 16) + y^2 = 16$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

Сравним полученное уравнение со стандартным видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае $a = 4$, $b = 0$. Координаты центра $O(a, b)$ равны $(4, 0)$.

Радиус в квадрате $R^2 = 16$. Поскольку $R^2 = 16 > 0$, уравнение действительно задает окружность.

Радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра $O(4, 0)$, радиус $R = 4$. Уравнение задает окружность.

б)

Дано

Уравнение: $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$

Найти:

Доказать, что уравнение задает окружность. Найти ее радиус и координаты центра.

Решение

Перегруппируем члены уравнения и выделим полные квадраты для $x$ и $y$ одновременно.

Для членов с $x$: $x^2 + 2x$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.

Для членов с $y$: $y^2 - 6y$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить $(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$.

Исходное уравнение:

$x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$

Добавим и вычтем необходимые числа для полных квадратов:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 4 = 0$

Сгруппируем полные квадраты:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 4 = 0$

Вычислим постоянные члены:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 6 = 0$

Перенесем постоянный член в правую часть:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 6$

Сравним полученное уравнение со стандартным видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае $x - a = x + 1 \Rightarrow a = -1$.

И $y - b = y - 3 \Rightarrow b = 3$.

Координаты центра $O(a, b)$ равны $(-1, 3)$.

Радиус в квадрате $R^2 = 6$. Поскольку $R^2 = 6 > 0$, уравнение действительно задает окружность.

Радиус $R = \sqrt{6}$.

Ответ: Координаты центра $O(-1, 3)$, радиус $R = \sqrt{6}$. Уравнение задает окружность.