Страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что изучает стереометрия?

2. Как переводится с греческого языка слово "стереометрия"?

3. Идеализацией каких объектов является: а) точка; б) прямая; в) плоскость?

4. Как обозначают: а) точки; б) прямые; в) плоскости?

5. Как обозначается то, что точка A принадлежит прямой $a$? $A \in a$

6. Как обозначается то, что точка B не принадлежит прямой $a$? $B \notin a$

7. Какие две прямые в пространстве называются пересекающимися?

8. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямых $a$ и $b$? $C = a \cap b$

9. Как обозначается то, что точка A принадлежит плоскости $\alpha$? $A \in \alpha$

10. Как обозначается то, что точка B не принадлежит плоскости $\alpha$? $B \notin \alpha$

11. В каком случае говорят, что прямая: а) лежит в плоскости; б) пересекает плоскость?

12. Как обозначается то, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$? $a \subset \alpha$

13. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямой $a$ и плоскости $\beta$? $C = a \cap \beta$

14. В каком случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой?

15. Как обозначается то, что прямая $c$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$? $c = \alpha \cap \beta$

16. Когда и где зародилась геометрия?

17. Как называются многогранники, изображенные на рисунке 1.6? Сколько у них граней?

1. Что изучает стереометрия?

Стереометрия изучает свойства геометрических фигур в трехмерном пространстве. Она рассматривает точки, прямые, плоскости, а также различные трехмерные тела, такие как кубы, пирамиды, сферы, цилиндры, конусы и другие, их взаимное расположение, измерения объемов и площадей поверхностей.

Ответ:

2. Как переводится с греческого языка слово "стереометрия"?

Слово "стереометрия" происходит от двух греческих слов: "стереос" ($\sigma\tau\epsilon\rho\epsilon o\varsigma$) — что означает "твердый", "объемный" или "пространственный", и "метрео" ($\mu\epsilon\tau\rho\epsilon\omega$) — что означает "измерять". Таким образом, "стереометрия" переводится как "измерение объемов" или "измерение пространственных фигур".

Ответ:

3. Идеализацией каких объектов является: а) точка; б) прямая; в) плоскость?

а) точка: идеализацией точки является объект, имеющий только положение в пространстве, но не имеющий размеров. Примерами могут служить след от карандаша на бумаге, звезда на небе (как воспринимается глазом), кончик иглы, пылинка.

б) прямая: идеализацией прямой является объект, имеющий только одно измерение – длину, бесконечный в обе стороны и не имеющий ширины или толщины. Примерами могут быть туго натянутая нить, луч света, след от движения точки.

в) плоскость: идеализацией плоскости является объект, имеющий два измерения – длину и ширину, бесконечный во все стороны и не имеющий толщины. Примерами могут служить идеально ровная поверхность стола, поверхность стены, поверхность спокойного озера.

Ответ:

4. Как обозначают: а) точки; б) прямые; в) плоскости?

а) точки: точки обычно обозначают большими буквами латинского алфавита, например, $A, B, C, \dots$

б) прямые: прямые обозначают одной маленькой буквой латинского алфавита, например, $a, b, c, \dots$, или двумя большими буквами, соответствующими любым двум точкам, лежащим на этой прямой, например, $AB, CD, \dots$

в) плоскости: плоскости обычно обозначают маленькими буквами греческого алфавита, например, $\alpha, \beta, \gamma, \dots$

Ответ:

5. Как обозначается то, что точка A принадлежит прямой a?

То, что точка $A$ принадлежит прямой $a$, обозначается символом принадлежности: $A \in a$.

Ответ:

6. Как обозначается то, что точка B не принадлежит прямой a?

То, что точка $B$ не принадлежит прямой $a$, обозначается символом непринадлежности: $B \notin a$.

Ответ:

7. Какие две прямые в пространстве называются пересекающимися?

Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку и при этом лежат в одной плоскости.

Ответ:

8. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямых a и b?

То, что точка $C$ является пересечением прямых $a$ и $b$, обозначается с помощью символа пересечения: $C = a \cap b$.

Ответ:

9. Как обозначается то, что точка A принадлежит плоскости $\alpha$?

То, что точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, обозначается символом принадлежности: $A \in \alpha$.

Ответ:

10. Как обозначается то, что точка B не принадлежит плоскости $\alpha$?

То, что точка $B$ не принадлежит плоскости $\alpha$, обозначается символом непринадлежности: $B \notin \alpha$.

Ответ:

11. В каком случае говорят, что прямая: а) лежит в плоскости; б) пересекает плоскость?

а) Прямая лежит в плоскости: Говорят, что прямая лежит в плоскости, если все точки этой прямой принадлежат данной плоскости. В этом случае прямая целиком содержится в плоскости.

б) Прямая пересекает плоскость: Говорят, что прямая пересекает плоскость, если они имеют ровно одну общую точку, и при этом прямая не лежит в данной плоскости. Эта общая точка называется точкой пересечения.

Ответ:

12. Как обозначается то, что прямая a лежит в плоскости $\alpha$?

То, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, обозначается символом включения: $a \subset \alpha$.

Ответ:

13. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямой a и плоскости $\beta$?

То, что точка $C$ является пересечением прямой $a$ и плоскости $\beta$, обозначается с помощью символа пересечения: $C = a \cap \beta$.

Ответ:

14. В каком случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой?

Две плоскости пересекаются по прямой, если они имеют общие точки и не совпадают. Множество всех общих точек двух различных пересекающихся плоскостей образует прямую линию. Это является одной из аксиом стереометрии.

Ответ:

15. Как обозначается то, что прямая c является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

То, что прямая $c$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$, обозначается с помощью символа пересечения: $c = \alpha \cap \beta$.

Ответ:

16. Когда и где зародилась геометрия?

Геометрия зародилась в глубокой древности, примерно в III тысячелетии до нашей эры, в цивилизациях Древнего Египта и Месопотамии (современный Ирак). Её развитие было обусловлено практическими потребностями, такими как измерение земельных участков (после разливов рек Нил и Евфрат), строительство монументальных сооружений (пирамид, зиккуратов), а также астрономические наблюдения и создание календарей.

Ответ:

17. Как называются многогранники, изображенные на рисунке 1.6? Сколько у них граней?

В данном случае рисунок 1.6 не представлен. Без изображения невозможно определить названия многогранников и подсчитать количество их граней. Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольными поверхностями (гранями). Количество граней зависит от конкретного типа многогранника (например, у куба 6 граней, у тетраэдра 4 грани, у октаэдра 8 граней).

Ответ:

1.1. Представьте, что стены класса — это части плоскостей. Укажите:

а) две пересекающиеся плоскости;

б) две непересекающиеся плоскости;

в) плоскость и непересекающую ее прямую;

г) две пересекающиеся прямые;

д) две непересекающиеся прямые.

а) две пересекающиеся плоскости;
Две смежные стены класса, например, передняя стена и правая боковая стена. Они пересекаются по линии, образующей вертикальный угол комнаты.

б) две непересекающиеся плоскости;
Две противоположные стены класса, например, передняя стена и задняя стена. Или плоскость пола и плоскость потолка. Эти плоскости параллельны и не пересекаются.

в) плоскость и непересекающую ее прямую;
Плоскость пола и верхний край классной доски (если доска закреплена на стене, и ее верхний край параллелен полу, но не лежит на нем). Или плоскость одной стены (например, передней стены) и линия, образованная пересечением противоположной стены (задней) с потолком. Эта линия параллельна передней стене и не пересекает ее.

г) две пересекающиеся прямые;
Нижний край передней стены (линия пересечения передней стены и пола) и правый вертикальный край передней стены (линия пересечения передней стены и правой боковой стены). Эти две линии пересекаются в правом нижнем углу передней стены.

д) две непересекающиеся прямые.
Это могут быть параллельные прямые или скрещивающиеся прямые.
Пример параллельных прямых: нижний край передней стены и верхний край передней стены.
Пример скрещивающихся прямых: нижний край передней стены и правый верхний край задней стены (линия пересечения правой боковой стены и потолка на задней стене). Эти линии не параллельны и не пересекаются.

1.2. Изобразите:

a) две пересекающиеся прямые;

б) плоскость и непересекающую ее прямую;

в) две пересекающиеся плоскости.

a) две пересекающиеся прямые;

Описание: две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. эти прямые лежат в одной плоскости. при изображении их можно представить как две линии, проходящие через одну точку, например, в виде буквы "х".

Ответ: две прямые, имеющие одну общую точку.

б) плоскость и непересекающую ее прямую;

Описание: прямая не пересекает плоскость, если она параллельна этой плоскости. это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек, независимо от их продолжения. при изображении плоскость обычно представляется в виде параллелограмма, а прямая — как линия, расположенная вне этого параллелограмма, но параллельно одной из его сторон или общей ориентации плоскости, например, "парящая" над ней.

Ответ: плоскость и прямая, не имеющие общих точек.

в) две пересекающиеся плоскости.

Описание: две плоскости называются пересекающимися, если они имеют общую прямую. эта общая прямая является линией их пересечения. при изображении можно представить две "листовые" поверхности, которые проникают друг в друга, образуя общую линию, как, например, две раскрытые страницы книги.

Ответ: две плоскости, имеющие общую прямую.

1.3. Точки $A$, $B$, $C$ не принадлежат одной прямой. Запишите прямые, проходящие через различные пары этих точек.

Точки A, B, C не принадлежат одной прямой. Запишите прямые, проходящие через различные пары этих точек.

По условию задачи, даны три точки A, B, C, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что никакие две из этих точек не совпадают, и они образуют треугольник (не являются коллинеарными).

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, каждая пара этих точек будет определять уникальную прямую, отличную от прямых, определяемых другими парами.

Перечислим все возможные пары различных точек из набора A, B, C:

• Пара точек A и B

• Пара точек A и C

• Пара точек B и C

Каждая из этих пар однозначно определяет одну прямую:

• Через точки A и B проходит прямая AB (также можно обозначить как BA).

• Через точки A и C проходит прямая AC (также можно обозначить как CA).

• Через точки B и C проходит прямая BC (также можно обозначить как CB).

Поскольку точки A, B, C не являются коллинеарными, эти три прямые (AB, AC, BC) являются различными и представляют собой стороны треугольника ABC.

Ответ: Прямые AB, AC, BC.

1.4. Точки A, B, C, D не принадлежат одной плоскости. Запишите плоскости, проходящие через различные тройки этих точек.

Дано:

Точки A, B, C, D не принадлежат одной плоскости.

Найти:

Плоскости, проходящие через различные тройки этих точек.

Решение:

Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости (образуют тетраэдр), любые три из них не могут быть коллинеарными, и следовательно, каждая уникальная тройка этих точек будет определять свою собственную плоскость.

Количество различных троек точек из четырех данных можно найти с помощью формулы для сочетаний из n по k, которая записывается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$. Формула имеет вид: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $n=4$ (общее количество точек) и $k=3$ (количество точек в тройке).

Расчет количества плоскостей:$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$.

Таким образом, существует 4 различные плоскости, проходящие через тройки данных точек.

Перечислим эти плоскости по точкам, которые их определяют:

• Плоскость, проходящая через точки A, B, C. Её можно обозначить как плоскость (ABC).

• Плоскость, проходящая через точки A, B, D. Её можно обозначить как плоскость (ABD).

• Плоскость, проходящая через точки A, C, D. Её можно обозначить как плоскость (ACD).

• Плоскость, проходящая через точки B, C, D. Её можно обозначить как плоскость (BCD).

Ответ:

Плоскости: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).