Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя аксиому 4, докажите, что в пространстве существует четыре плоскости.

Дано:

В пространстве существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости (Аксиома 4). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Найти:

Доказать, что в пространстве существует четыре плоскости.

Решение:

Согласно аксиоме 4, в пространстве существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Пусть эти точки будут $A, B, C, D$.

Известно, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, то любые три из них не могут лежать на одной прямой (если бы, например, $A, B, C$ лежали на одной прямой, то точки $A, B, C, D$ лежали бы в плоскости, проходящей через эту прямую и точку $D$, что противоречит условию некомпланарности $A, B, C, D$).

Используя это свойство, мы можем определить четыре различные плоскости, проходящие через комбинации трех из этих четырех некомпланарных точек:

1. Плоскость $\alpha_1$, определяемая точками $A, B, C$.

2. Плоскость $\alpha_2$, определяемая точками $A, B, D$.

3. Плоскость $\alpha_3$, определяемая точками $A, C, D$.

4. Плоскость $\alpha_4$, определяемая точками $B, C, D$.

Теперь необходимо доказать, что эти четыре плоскости различны. Предположим противное, что какие-либо две из этих плоскостей совпадают. Например, пусть $\alpha_1 = \alpha_2$. Это означает, что плоскость, проходящая через точки $A, B, C$, совпадает с плоскостью, проходящей через точки $A, B, D$. Если эти плоскости идентичны, то точка $D$ должна лежать в плоскости, определяемой точками $A, B, C$. Это, в свою очередь, означало бы, что все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости, что прямо противоречит аксиоме 4, согласно которой эти точки не являются компланарными.

Аналогично можно доказать, что все остальные пары плоскостей также различны:

• Если $\alpha_1 = \alpha_3$ (плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $ACD$), то точка $D$ лежит в плоскости $ABC$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_1 = \alpha_4$ (плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_2 = \alpha_3$ (плоскость $ABD$ совпадает с плоскостью $ACD$), то точка $B$ лежит в плоскости $ACD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_2 = \alpha_4$ (плоскость $ABD$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_3 = \alpha_4$ (плоскость $ACD$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.

Поскольку предположение о совпадении любых двух плоскостей приводит к противоречию с аксиомой 4, все четыре плоскости $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ являются различными.

Таким образом, используя аксиому 4 о существовании четырех некомпланарных точек и аксиому о прохождении единственной плоскости через три не лежащие на одной прямой точки, мы доказали существование четырех различных плоскостей в пространстве.

Ответ: Доказано, что в пространстве существует четыре плоскости.

Как вы думаете, сколько плоскостей проходит через две точки пространства?

Дано: две точки пространства.

Найти: количество плоскостей, проходящих через данные две точки.

Решение:

Для того чтобы однозначно определить плоскость в пространстве, необходимо иметь три точки, которые не лежат на одной прямой. Если же у нас есть только две точки, через них можно провести единственную прямую. Через любую заданную прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Это можно представить как страницы книги, корешок которой является данной прямой – каждая страница представляет собой отдельную плоскость, проходящую через этот корешок (прямую).

Ответ: бесконечное множество.

Вопросы

1. Что означает слово "аксиома"?

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Используя обозначения, переформулируйте аксиомы стереометрии.

4. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

5. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

6. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

1. Что означает слово "аксиома"?

Слово "аксиома" (от др.-греч. 'аксиома' – достоинство, нечто самоочевидное, принимаемое без доказательств) означает исходное положение или утверждение, которое принимается без доказательства в какой-либо теории или системе, поскольку его истинность считается очевидной или общепринятой. Аксиомы служат фундаментом, на котором строятся все остальные утверждения и теоремы данной теории.

Ответ: Аксиома – это исходное положение какой-либо теории, принимаемое без доказательства в силу его очевидности и служащее основой для вывода других утверждений.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

Основные аксиомы стереометрии:
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ: Аксиомы стереометрии включают положения о существовании единственной плоскости через три неколлинеарные точки, о том, что прямая полностью лежит в плоскости, если две ее точки лежат в ней, и о том, что две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.

3. Используя обозначения, переформулируйте аксиомы стереометрии.

Обозначения: точки – $A, B, C, M$, прямая – $a, l$, плоскость – $\alpha, \beta$.
Аксиомы стереометрии с обозначениями:
1. Через любые три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой (т.е., они неколлинеарны), проходит плоскость $\alpha$, и притом только одна.
2. Если две различные точки $A$ и $B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in a, B \in a, A \in \alpha, B \in \alpha$), то и вся прямая $a$ лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$).
3. Если две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$), то они пересекаются по прямой $l$, проходящей через эту точку ($l = \alpha \cap \beta$, причем $M \in l$).

Ответ: Аксиомы стереометрии с использованием обозначений: 1) через любые три неколлинеарные точки $A, B, C$ проходит единственная плоскость $\alpha$; 2) если две точки $A, B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$); 3) если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, то они пересекаются по прямой $l$, проходящей через $M$ ($l = \alpha \cap \beta$).

4. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

Согласно аксиоме стереометрии, которая гласит: "Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости". Следовательно, если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то все точки этой прямой принадлежат данной плоскости, то есть прямая целиком лежит в плоскости.

Ответ: Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она целиком лежит в этой плоскости.

5. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит только одна плоскость. Это следует из первой аксиомы стереометрии. Прямая содержит как минимум две точки. Вместе с точкой, не лежащей на этой прямой, мы получаем три точки, которые гарантированно не лежат на одной прямой. Согласно первой аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.

Ответ: Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит только одна плоскость.

6. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

Через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Это можно объяснить, используя первую аксиому стереометрии. Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Они имеют одну общую точку пересечения $M$. На прямой $a$ выберем еще одну точку $A$, отличную от $M$. На прямой $b$ выберем еще одну точку $B$, отличную от $M$. Точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой (так как $A$ лежит на $a$, $B$ на $b$, а $a$ и $b$ - различные пересекающиеся прямые). Согласно первой аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Эта плоскость будет содержать обе пересекающиеся прямые.

Ответ: Через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость.

2.1. Сколько прямых можно провести через одну точку?

Сколько прямых можно провести через одну точку?

В геометрии через одну заданную точку можно провести бесконечное множество прямых. Каждая прямая, проходящая через эту точку, будет отличаться от других своим направлением. Если представить точку как центр, то прямые будут проходить через нее под любым возможным углом, образуя пучок прямых.

Ответ: Бесконечное множество.

2.2. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

Решение

В трехмерном пространстве через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Это является одним из основных постулатов стереометрии. Можно представить прямую как ось вращения. Любая плоскость, которая содержит эту прямую, может быть повернута вокруг нее, создавая новое положение, которое все еще содержит данную прямую. Поскольку таких положений может быть бесконечно много, то и количество плоскостей, проходящих через одну прямую, является бесконечным.

Ответ: Бесконечное множество.

2.3. Сколько плоскостей может проходить через три данные точки? При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей?

Сколько плоскостей может проходить через три данные точки?

Решение

В зависимости от взаимного расположения трех данных точек, количество плоскостей, проходящих через них, может быть разным.

Если три данные точки не лежат на одной прямой (то есть не коллинеарны), то через них можно провести только одну, и притом только одну, плоскость. Это является одной из основных аксиом стереометрии, которая утверждает, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если же три данные точки лежат на одной прямой (то есть коллинеарны), то через эти точки можно провести бесконечно много плоскостей. В этом случае, любая плоскость, которая содержит эту прямую, будет проходить через все три точки. Представьте себе ось вращения (прямую, на которой лежат точки) и множество плоскостей, вращающихся вокруг этой оси.

Ответ: Одна плоскость (если точки не коллинеарны) или бесконечно много плоскостей (если точки коллинеарны).

При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей?

Решение

Бесконечно много плоскостей можно провести через три данные точки в том случае, если все эти три точки лежат на одной прямой. Это означает, что точки являются коллинеарными.

Ответ: Бесконечно много плоскостей можно провести через три данные точки, если они лежат на одной прямой (коллинеарны).