Задания, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя аксиому 4, докажите, что в пространстве существует четыре плоскости.

Дано:

В пространстве существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости (Аксиома 4). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Найти:

Доказать, что в пространстве существует четыре плоскости.

Решение:

Согласно аксиоме 4, в пространстве существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Пусть эти точки будут $A, B, C, D$.

Известно, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, то любые три из них не могут лежать на одной прямой (если бы, например, $A, B, C$ лежали на одной прямой, то точки $A, B, C, D$ лежали бы в плоскости, проходящей через эту прямую и точку $D$, что противоречит условию некомпланарности $A, B, C, D$).

Используя это свойство, мы можем определить четыре различные плоскости, проходящие через комбинации трех из этих четырех некомпланарных точек:

1. Плоскость $\alpha_1$, определяемая точками $A, B, C$.

2. Плоскость $\alpha_2$, определяемая точками $A, B, D$.

3. Плоскость $\alpha_3$, определяемая точками $A, C, D$.

4. Плоскость $\alpha_4$, определяемая точками $B, C, D$.

Теперь необходимо доказать, что эти четыре плоскости различны. Предположим противное, что какие-либо две из этих плоскостей совпадают. Например, пусть $\alpha_1 = \alpha_2$. Это означает, что плоскость, проходящая через точки $A, B, C$, совпадает с плоскостью, проходящей через точки $A, B, D$. Если эти плоскости идентичны, то точка $D$ должна лежать в плоскости, определяемой точками $A, B, C$. Это, в свою очередь, означало бы, что все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости, что прямо противоречит аксиоме 4, согласно которой эти точки не являются компланарными.

Аналогично можно доказать, что все остальные пары плоскостей также различны:

• Если $\alpha_1 = \alpha_3$ (плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $ACD$), то точка $D$ лежит в плоскости $ABC$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_1 = \alpha_4$ (плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_2 = \alpha_3$ (плоскость $ABD$ совпадает с плоскостью $ACD$), то точка $B$ лежит в плоскости $ACD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_2 = \alpha_4$ (плоскость $ABD$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.
• Если $\alpha_3 = \alpha_4$ (плоскость $ACD$ совпадает с плоскостью $BCD$), то точка $A$ лежит в плоскости $BCD$, что противоречит некомпланарности $A, B, C, D$.

Поскольку предположение о совпадении любых двух плоскостей приводит к противоречию с аксиомой 4, все четыре плоскости $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ являются различными.

Таким образом, используя аксиому 4 о существовании четырех некомпланарных точек и аксиому о прохождении единственной плоскости через три не лежащие на одной прямой точки, мы доказали существование четырех различных плоскостей в пространстве.

Ответ: Доказано, что в пространстве существует четыре плоскости.