Номер 1.11, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.11. Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Аксиомы геометрии на плоскости (евклидовой геометрии), как правило, основываются на аксиоматике Гильберта или схожих системах, которые разделяют аксиомы на несколько групп:

1. Аксиомы принадлежности (связи):
• через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• на каждой прямой лежат по крайней мере две точки.
• существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Аксиомы порядка:
• если точка B лежит между точками A и C, то A, B, C являются различными точками одной прямой.
• если B лежит между A и C, то C не лежит между A и B, и A не лежит между B и C.
• для любых двух различных точек A и B существует такая точка C, что B лежит между A и C.
• (аксиома Паша) если прямая пересекает одну из сторон треугольника (не проходя через вершину), то она пересекает и другую сторону.

3. Аксиомы конгруэнтности (равенства):
• для любого отрезка AB и любого луча с началом в точке A' существует единственная точка B' на этом луче такая, что отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $AB$.
• если отрезки $AB$ и $CD$ конгруэнтны отрезку $EF$, то отрезки $AB$ и $CD$ конгруэнтны друг другу (транзитивность конгруэнтности).
• (аксиома сложения отрезков) если B лежит между A и C, и B' лежит между A' и C', и $AB \cong A'B'$, и $BC \cong B'C'$, то $AC \cong A'C'$.
• для любого угла $\angle ABC$ и любого луча B'A' существует единственный луч B'C' такой, что $\angle ABC \cong \angle A'B'C'$ и точки C и C' лежат по одну сторону от прямых AB и A'B' соответственно.
• если $\angle ABC \cong \angle DEF$ и $\angle ABC \cong \angle GHI$, то $\angle DEF \cong \angle GHI$ (транзитивность конгруэнтности углов).
• (аксиома сложения углов) если луч BD лежит между лучами BA и BC, и луч B'D' лежит между лучами B'A' и B'C', и $\angle ABD \cong \angle A'B'D'$, и $\angle DBC \cong \angle D'B'C'$, то $\angle ABC \cong \angle A'B'C'$.
• (признак конгруэнтности по двум сторонам и углу между ними - SAS) если в двух треугольниках две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

4. Аксиома параллельных (аксиома параллельности Евклида / аксиома Плейфэра):
• через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

5. Аксиомы непрерывности:
• (аксиома Архимеда) если AB и CD - любые два отрезка, то существует такое натуральное число $n$, что $n$ отрезков CD, отложенных последовательно от A по прямой, содержащей AB, превзойдут AB.
• (аксиома полноты / Дедекинда) если точки прямой разбиты на два непустых класса так, что всякая точка первого класса лежит раньше всякой точки второго класса, то существует единственная точка, принадлежащая одному из классов, которая разделяет эти классы.

Ответ: основные аксиомы геометрии на плоскости включают аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, которые совместно определяют евклидово пространство.