Страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.13. На клетчатой бумаге изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.11). Изобразите весь параллелепипед.

а)

б)

Рис. 3.11

а)

Для построения прямоугольного параллелепипеда по трем данным ребрам, исходящим из одной вершины, необходимо выполнить следующие шаги:

• 1. Определение размеров и начальной точки:

  Определяем общую вершину для всех трех данных ребер. В данном случае, это нижняя левая точка сетки. Длины ребер, определяющие размеры параллелепипеда: горизонтальное ребро — 4 клетки, вертикальное ребро — 4 клетки, диагональное (пунктирное) ребро, задающее глубину, — смещение на 2 клетки по горизонтали вправо и 1 клетка по вертикали вверх.

• 2. Построение видимой (передней) грани:

  Из общей вершины начертите сплошную горизонтальную линию длиной 4 клетки вправо (это нижнее ребро передней грани). Из той же общей вершины начертите сплошную вертикальную линию длиной 4 клетки вверх (это левое ребро передней грани). Завершите построение переднего прямоугольника (квадрата 4x4 клетки) сплошными линиями: начертите сплошную вертикальную линию длиной 4 клетки вверх от правого конца нижней горизонтальной линии, и сплошную горизонтальную линию длиной 4 клетки вправо от верхнего конца левой вертикальной линии. Эти четыре сплошные линии образуют переднюю (видимую) грань параллелепипеда.

• 3. Построение ребер глубины:

  Из каждой из четырех вершин передней грани проведите линии, представляющие глубину, параллельные заданному пунктирному диагональному ребру (т.е. с тем же смещением: 2 клетки вправо, 1 клетка вверх):

  • Из исходной (нижней левой) вершины: проведите пунктирную линию (это одно из заданных ребер).

  • Из нижней правой вершины передней грани: проведите пунктирную линию.

  • Из верхней левой вершины передней грани: проведите пунктирную линию.

  • Из верхней правой вершины передней грани: проведите сплошную линию (это ребро будет видимым в данной проекции).

• 4. Построение задней грани:

  Соедините концы четырех ребер глубины, чтобы сформировать заднюю грань параллелепипеда.

  • Верхнее ребро задней грани (параллельно верхнему ребру передней грани): сплошная линия.

  • Правое вертикальное ребро задней грани (параллельно правому вертикальному ребру передней грани): сплошная линия.

  • Нижнее ребро задней грани (параллельно нижнему ребру передней грани): пунктирная линия.

  • Левое вертикальное ребро задней грани (параллельно левому вертикальному ребру передней грани): пунктирная линия.

Ответ: Изображение параллелепипеда, построенное согласно описанным шагам, будет иметь переднюю, верхнюю и правую боковую грани как видимые, при этом некоторые задние и нижние ребра будут изображены пунктирными линиями.

б)

Для построения прямоугольного параллелепипеда по трем данным ребрам, расположенным на клетчатой бумаге в данной конфигурации, необходимо определить его размеры и правильно отобразить видимые и невидимые ребра.

• 1. Определение размеров параллелепипеда:

  Из данных ребер определяем измерения параллелепипеда:

  • Высота: длина вертикального пунктирного ребра составляет 5 клеток.

  • Длина (по горизонтали): длина горизонтального сплошного ребра составляет 4 клетки.

  • Глубина (по диагонали в проекции): диагональное сплошное ребро представляет собой смещение на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, что определяет проекцию третьего измерения.

• 2. Построение основной видимой части параллелепипеда:

  Для получения стандартного изометрического вида, при котором видны передняя, верхняя и правая грани, начните с нижней левой вершины видимой части.

  • Начертите сплошную горизонтальную линию длиной 4 клетки вправо (это будет нижнее ребро передней грани). Это ребро имеет длину, соответствующую длине горизонтального ребра, заданного в условии.

  • Начертите сплошную вертикальную линию длиной 5 клеток вверх (это будет левое ребро передней грани). Это ребро имеет длину, соответствующую длине вертикального ребра, заданного в условии.

  • Завершите построение передней грани (прямоугольника 4x5 клеток) сплошными линиями: верхнее ребро (4 клетки горизонтально) и правое вертикальное ребро (5 клеток вертикально).

• 3. Построение ребер глубины:

  Из каждой из четырех вершин передней грани проведите линии, представляющие глубину, параллельные диагональному ребру, задающему третье измерение (смещение 2 клетки вправо, 1 клетка вверх):

  • Из нижней левой вершины: проведите пунктирную линию (скрытое ребро).

  • Из нижней правой вершины: проведите сплошную линию. Это ребро соответствует диагональному сплошному ребру, заданному в условии.

  • Из верхней левой вершины: проведите пунктирную линию (скрытое ребро).

  • Из верхней правой вершины: проведите сплошную линию (видимое ребро).

• 4. Построение задней грани:

  Соедините концы четырех ребер глубины, чтобы сформировать заднюю грань.

  • Нижнее ребро задней грани: пунктирная линия.

  • Левое вертикальное ребро задней грани: пунктирная линия. Эта линия соответствует вертикальному пунктирному ребру, заданному в условии.

  • Верхнее ребро задней грани: сплошная линия. Эта линия соответствует горизонтальному сплошному ребру, заданному в условии (если смотреть на него как на верхнее заднее ребро).

  • Правое вертикальное ребро задней грани: сплошная линия.

Ответ: Изображение параллелепипеда, построенное согласно описанным шагам, будет представлять собой прямоугольный параллелепипед с размерами передней грани 4x5 клеток и глубиной, заданной проекцией 2x1 клетку. Три заданных ребра будут частью построенного параллелепипеда с соответствующей видимостью (сплошной или пунктирной линией).

3.14. Является ли фигура, составленная из четырех равных прямоугольных треугольников (рис. 3.12), разверткой тетраэдра?

Рис. 3.12

Дано
фигура, состоящая из четырех равных прямоугольных треугольников (согласно текстовому описанию задачи).

Найти:
является ли данная фигура разверткой тетраэдра.

Решение
тетраэдр - это многогранник, имеющий четыре грани, каждая из которых является треугольником. для того чтобы фигура была разверткой тетраэдра, она должна состоять из четырех треугольников, которые при складывании образуют грани тетраэдра.

в условии задачи прямо указано, что фигура составлена из четырех равных прямоугольных треугольников.

в геометрии существует теорема, которая гласит, что если все четыре грани тетраэдра конгруэнтны (то есть равны друг другу), то эти грани должны быть остроугольными треугольниками. остроугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы строго меньше $90^\circ$.

прямоугольный треугольник по определению содержит один угол, равный $90^\circ$. следовательно, прямоугольный треугольник не является остроугольным.

из этого следует, что невозможно построить тетраэдр, у которого все четыре грани были бы равными прямоугольными треугольниками, так как это противоречит вышеупомянутой геометрической теореме.

хотя на рисунке 3.12 показана развертка из четырех равных равносторонних треугольников (которая действительно является разверткой правильного тетраэдра), формулировка задачи явно указывает на "прямоугольные" треугольники. при решении задачи следует опираться на текстовое описание, а не на противоречащее ему визуальное представление.

таким образом, фигура, составленная из четырех равных прямоугольных треугольников, не может быть разверткой тетраэдра.

Ответ:
нет, фигура, составленная из четырех равных прямоугольных треугольников, не является разверткой тетраэдра.

3.15.Нарисуйте развертку наклонного параллелепипеда, гранями которого являются ромбы.

Развертка наклонного параллелепипеда, все грани которого являются ромбами (такой параллелепипед называется ромбоэдром), состоит из шести конгруэнтных (одинаковых по форме и размеру) ромбов.

Для построения развертки можно использовать следующую схему:

• Представьте четыре ромба, выстроенных в ряд и соединенных по одной из сторон. Эти четыре ромба образуют боковую поверхность параллелепипеда при его складывании. Например, если ромбы расположены горизонтально, то каждый ромб $R_i$ соединен с ромбом $R_{i+1}$ по одной из вертикальных сторон.

• Два оставшихся ромба, которые станут основаниями параллелепипеда, присоединяются к боковой поверхности. Один из них присоединяется к "верхней" стороне одного из крайних ромбов в ряду (например, к ромбу $R_1$).

• Второй ромб-основание присоединяется к "нижней" стороне одного из ромбов в середине ряда (например, к ромбу $R_3$), таким образом, чтобы при складывании развертки он оказался параллельным первому основанию и формировал противоположную грань.

Все шесть ромбов в развертке будут иметь одинаковые длины сторон и одинаковые углы. Важно, чтобы при складывании все ребра совпадали, а грани образовывали замкнутую трехмерную фигуру. Поскольку параллелепипед наклонный, углы между соседними гранями (двугранные углы) не будут прямыми, что отражается в углах самих ромбов, если они не являются квадратами.

Ответ:

3.16. Изготовьте развертку и склейте из нее модель наклонного параллелепипеда.

Наклонный параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых является параллелограммом. При этом основания (две противоположные грани) параллельны, а боковые грани не перпендикулярны основаниям, что отличает его от прямого параллелепипеда.

Решение

Изготовьте развертку

Для создания развертки наклонного параллелепипеда вам потребуется лист плотной бумаги или картона, линейка, карандаш, транспортир и ножницы. Наклонный параллелепипед состоит из двух параллельных оснований (которые являются параллелограммами) и четырех боковых граней (которые также являются параллелограммами).

1. Начертите два одинаковых параллелограмма, которые будут служить основаниями вашей модели. Например, можно выбрать стороны длиной $a$ и $b$ и угол $\alpha$ между ними. Убедитесь, что все соответствующие стороны оснований имеют одинаковую длину.
2. К каждой стороне одного из оснований присоедините боковые грани. Боковые грани наклонного параллелепипеда также являются параллелограммами. Длина одной стороны каждой боковой грани должна совпадать с соответствующей стороной основания. Длина другой стороны боковой грани (длина бокового ребра) и углы боковых граней должны быть выбраны таким образом, чтобы обеспечить наклон. Например, если основание имеет стороны $a$ и $b$, то к стороне $a$ присоединяется параллелограмм с одной стороной $a$ и другой стороной $c$ (длина бокового ребра), а к стороне $b$ — параллелограмм с одной стороной $b$ и другой стороной $c$. Углы боковых граней будут отличаться от $90^\circ$.
3. Присоедините второе основание к одной из боковых граней. Оно должно быть точно таким же, как и первое.
4. По внешнему периметру развертки, а также вдоль сторон, которые будут склеиваться, добавьте небольшие клапаны (язычки) шириной 1-2 см. Эти клапаны необходимы для нанесения клея и скрепления модели.
5. Аккуратно вырежьте полученную развертку по внешнему контуру.

Ответ:

склейте из нее модель наклонного параллелепипеда

Для склеивания модели вам понадобится клей (например, ПВА или клей-карандаш) и, возможно, прищепки или зажимы для фиксации во время высыхания.

1. Осторожно согните развертку по всем линиям сгиба (ребрам параллелепипеда). Убедитесь, что сгибы четкие и ровные.
2. Нанесите клей на клапаны. Начинайте склеивание, соединяя боковые грани с одним из оснований.
3. Постепенно соединяйте все боковые грани друг с другом, используя клапаны. Важно следить за тем, чтобы грани соединялись ровно, и углы модели формировались правильно.
4. После того как все боковые грани склеены и образуют "трубу" с одним основанием, приклейте второе основание к оставшимся клапанам боковых граней.
5. Удерживайте склеенные части некоторое время, пока клей не схватится. При необходимости используйте зажимы или просто придерживайте руками, чтобы обеспечить плотное прилегание.
6. Дайте модели полностью высохнуть.

Ответ:

3.17. На рисунке 3.13 изображена треугольная призма. Попробуйте дать определение этого многогранника.

Рис. 3.13

Вершины призмы: A, B, C, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

Определение треугольной призмы

Треугольная призма — это многогранник, который имеет два основания, являющиеся конгруэнтными треугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Эти основания соединены тремя боковыми гранями, которые являются параллелограммами. Боковые ребра призмы, соединяющие соответствующие вершины оснований, параллельны друг другу.

Ответ:

3.18. На рисунке 3.14 изображена четырехугольная пирамида. Попробуйте дать определение этого многогранника.

Рис. 3.14

Решение

Четырехугольная пирамида — это многогранник, основанием которого является четырехугольник, а боковые грани представляют собой треугольники, сходящиеся в одной общей вершине (апексе), не лежащей в плоскости основания. На рисунке 3.14 изображена пирамида S-ABCD. Здесь четырехугольник $ABCD$ является основанием пирамиды. Точка $S$ — это вершина пирамиды (апекс). Треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$ и $\triangle SDA$ являются боковыми гранями пирамиды. Отрезки $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ называются боковыми ребрами, а отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ — ребрами основания.

Ответ: Четырехугольная пирамида — это многогранник, основанием которого является четырехугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину (апекс).