Страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.22. Повторите определение параллельности двух прямых на плоскости.

Повторите определение параллельности двух прямых на плоскости.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Также считается, что прямая параллельна самой себе.

Ответ:

4.23. Попробуйте определить понятие параллельности прямых в пространстве.

Определение понятия параллельности прямых в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они удовлетворяют двум основным условиям: они лежат в одной плоскости (то есть являются компланарными) и не имеют общих точек (то есть не пересекаются). В отличие от планиметрии, где любые две непересекающиеся прямые являются параллельными, в пространстве существует ещё один тип взаимного расположения прямых, которые не пересекаются – это скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек, но при этом не лежат в одной плоскости. Таким образом, для того чтобы две прямые $a$ и $b$ были параллельными ($a \parallel b$), необходимо выполнение следующих условий:
1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.
2. Прямые $a$ и $b$ не имеют ни одной общей точки.
По общепринятому определению, прямая также считается параллельной самой себе.

Ответ:

Параллельные прямые в пространстве — это две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько прямых можно провести через одну точку пространства:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Две. D) Бесконечно много?

2. Сколько плоскостей можно провести через одну точку пространства:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Две. D) Бесконечно много?

3. Сколько прямых можно провести через две точки пространства:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Две. D) Бесконечно много?

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек пространства, не принадлежащих одной прямой:
А) Ни одной. B) Три.
С) Шесть. D) Бесконечно много?

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек пространства:
А) Четыре. B) Пять.
С) Шесть. D) Восемь?

6. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек пространства?
А) 5. B) 10. C) 15. D) 25?

7. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Две. D) Бесконечно много?

8. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Две. D) Бесконечно много?

9. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Три. D) Бесконечно много?

10. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, принадлежащие одной прямой:
А) Ни одной. B) Одну.
С) Три. D) Бесконечно много?

11. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки из четырех точек пространства, не принадлежащих одной плоскости:
А) Три. B) Четыре.
С) Шесть. D) Бесконечно много?

12. Сколько плоскостей можно провести через три вершины куба:
А) Одну. B) Три.
С) Шесть. D) Бесконечно много?

13. Найдите число диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
А) 2. B) 4. C) 6. D) 8.

14. Найдите число диагоналей 6-угольной призмы.
А) 6. B) 12. C) 9. D) 18.

15. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 ребер:
А) Треугольник. B) Четырехугольник.
С) Шестиугольник. D) Двенадцатиугольник?

16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей 36 ребер:
А) Шестиугольник. B) Девятиугольник.
С) Двенадцатиугольник. D) Тридцатишестиугольник?

17. Призма имеет 18 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
А) Треугольник. B) Шестиугольник.
С) Девятиугольник. D) Восемнадцатиугольник?

18. Пирамида имеет 10 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
А) Пятиугольник. B) Шестиугольник.
С) Восьмиугольник. D) Девятиугольник?

19. Призма имеет 18 диагоналей. Определите ее вид.
А) Треугольная. B) Шестиугольная.
С) Девятиугольная. D) Восемнадцатиугольная.

20. Сколько диагоналей имеет 7-угольная пирамида:
А) Ни одной. B) 6. C) 7. D) 14?

1. Сколько прямых можно провести через одну точку пространства:
Через одну точку пространства можно провести бесконечно много прямых. Представьте себе точку, и через нее можно провести линию в любом направлении.
Ответ: Бесконечно много.

2. Сколько плоскостей можно провести через одну точку пространства:
Через одну точку пространства можно провести бесконечно много плоскостей. Представьте себе точку, и через нее можно "вращать" плоскость как угодно.
Ответ: Бесконечно много.

3. Сколько прямых можно провести через две точки пространства:
Через любые две различные точки пространства можно провести только одну прямую. Это одна из основных аксиом геометрии.
Ответ: Одну.

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек пространства, не принадлежащих одной прямой:
Если три точки не лежат на одной прямой, они образуют треугольник. Прямые можно провести между каждой парой точек: (1,2), (1,3) и (2,3). Это соответствует числу сочетаний из 3 по 2: $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.
Ответ: Три.

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек пространства:
Наибольшее число прямых достигается, когда никакие три точки не лежат на одной прямой. В этом случае, каждую прямую можно провести, выбрав две точки из четырех. Это число сочетаний из 4 по 2: $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Ответ: Шесть.

6. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек пространства:
Наибольшее число прямых достигается, когда никакие три точки не лежат на одной прямой. Это число сочетаний из 5 по 2: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Ответ: 10.

7. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости:
Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую. Прямая состоит из бесконечного числа точек.
Ответ: Бесконечно много.

8. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства:
Через две точки можно провести прямую, и через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (например, "вращая" плоскость вокруг этой прямой).
Ответ: Бесконечно много.

9. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой:
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость. Это одна из основных аксиом стереометрии.
Ответ: Одну.

10. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, принадлежащие одной прямой:
Если три точки принадлежат одной прямой, то через эту прямую (и, следовательно, через эти три точки) можно провести бесконечно много плоскостей.
Ответ: Бесконечно много.

11. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки из четырех точек пространства, не принадлежащих одной плоскости:
Если четыре точки не лежат в одной плоскости (например, вершины тетраэдра), то любая тройка из этих четырех точек будет некомпланарна (не лежать в одной плоскости) с оставшейся точкой, и никакие три точки не будут лежать на одной прямой. Каждая такая тройка определяет уникальную плоскость. Число таких троек равно числу сочетаний из 4 по 3: $C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$.
Ответ: Четыре.

12. Сколько плоскостей можно провести через три вершины куба:
Любые три вершины куба, которые не лежат на одной прямой, определяют одну плоскость. В кубе, как правило, три вершины не лежат на одной прямой (за исключением вырожденных случаев, которые не подразумеваются). Например, три вершины одной грани определяют плоскость этой грани. Три вершины, не лежащие на одной грани, также могут определить плоскость, пересекающую куб. Следовательно, через любые три не коллинеарные вершины куба можно провести одну плоскость.
Ответ: Одну.

13. Найдите число диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Дано:
Прямоугольный параллелепипед.
Найти:
Число диагоналей.
Решение:
Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Диагонали параллелепипеда соединяют пары вершин, не принадлежащих одной грани. Каждая вершина имеет одну противоположную вершину, с которой она образует диагональ. Всего 8 вершин, следовательно, $8/2 = 4$ таких пары, и 4 диагонали. Эти диагонали пересекаются в одной точке и имеют одинаковую длину. Они называются пространственными диагоналями. (Диагонали граней, если бы они подразумевались, были бы названы "диагоналями граней").
Ответ:
4.

14. Найдите число диагоналей 6-угольной призмы.
Дано:
6-угольная призма.
Найти:
Число диагоналей.
Решение:
Призма имеет два основания, которые являются шестиугольниками. Каждое основание представляет собой многоугольник, и у каждого многоугольника есть свои диагонали.
Число диагоналей многоугольника с $n$ вершинами определяется формулой $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Для шестиугольника ($n=6$):
$D_{шестиугольника} = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9$.
Поскольку призма имеет два основания (верхнее и нижнее), общее количество диагоналей в основаниях равно:
$2 \times 9 = 18$.
В контексте данной задачи и предложенных вариантов ответа, наиболее логичным является то, что под "диагоналями призмы" подразумеваются диагонали её оснований. Полное число диагоналей многогранника (не являющихся ребрами) для n-угольной призмы равно $2n(n-2)$, что для $n=6$ составило бы $2 \times 6 \times (6-2) = 48$, чего нет среди вариантов ответа.
Ответ:
18.

15. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 ребер:
Дано:
Пирамида имеет 12 ребер.
Найти:
Вид многоугольника в основании пирамиды.
Решение:
Пирамида имеет $n$ ребер в основании и $n$ боковых ребер, где $n$ — количество сторон многоугольника в основании.
Общее количество ребер пирамиды равно $E = n + n = 2n$.
По условию задачи, количество ребер пирамиды равно 12.
$2n = 12$
$n = \frac{12}{2}$
$n = 6$
Таким образом, в основании пирамиды лежит шестиугольник.
Ответ:
Шестиугольник.

16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей 36 ребер:
Дано:
Призма имеет 36 ребер.
Найти:
Вид многоугольника в основании призмы.
Решение:
Призма имеет $n$ ребер в каждом из двух оснований (всего $2n$ ребер оснований) и $n$ боковых ребер, где $n$ — количество сторон многоугольника в основании.
Общее количество ребер призмы равно $E = 2n + n = 3n$.
По условию задачи, количество ребер призмы равно 36.
$3n = 36$
$n = \frac{36}{3}$
$n = 12$
Таким образом, в основании призмы лежит двенадцатиугольник.
Ответ:
Двенадцатиугольник.

17. Призма имеет 18 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
Дано:
Призма имеет 18 вершин.
Найти:
Вид многоугольника в основании призмы.
Решение:
Призма имеет $n$ вершин в каждом из двух оснований, где $n$ — количество вершин многоугольника в основании.
Общее количество вершин призмы равно $V = 2n$.
По условию задачи, количество вершин призмы равно 18.
$2n = 18$
$n = \frac{18}{2}$
$n = 9$
Таким образом, в основании призмы лежит девятиугольник.
Ответ:
Девятиугольник.

18. Пирамида имеет 10 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
Дано:
Пирамида имеет 10 вершин.
Найти:
Вид многоугольника в основании пирамиды.
Решение:
Пирамида имеет $n$ вершин в основании и одну вершину (апекс), общую для всех боковых граней, где $n$ — количество вершин многоугольника в основании.
Общее количество вершин пирамиды равно $V = n + 1$.
По условию задачи, количество вершин пирамиды равно 10.
$n + 1 = 10$
$n = 10 - 1$
$n = 9$
Таким образом, в основании пирамиды лежит девятиугольник.
Ответ:
Девятиугольник.

19. Призма имеет 18 диагоналей. Определите ее вид.
Дано:
Призма имеет 18 диагоналей.
Найти:
Вид призмы (вид многоугольника в основании).
Решение:
В задачах такого типа, если не уточняется, какие именно диагонали имеются в виду (пространственные, граней, только оснований), и если полное число диагоналей не соответствует вариантам ответа, то обычно подразумеваются диагонали оснований призмы.
Призма имеет два основания, каждое из которых является $n$-угольником. Число диагоналей одного $n$-угольника равно $D_n = \frac{n(n-3)}{2}$.
Таким образом, общее число диагоналей в двух основаниях призмы равно $2 \times \frac{n(n-3)}{2} = n(n-3)$.
По условию задачи, призма имеет 18 диагоналей:
$n(n-3) = 18$
$n^2 - 3n - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81$.
$n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$.
Два возможных решения:
$n_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$n_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Поскольку число сторон многоугольника не может быть отрицательным, то $n=6$.
Следовательно, в основании призмы лежит шестиугольник, и призма является шестиугольной.
Ответ:
Шестиугольная.

20. Сколько диагоналей имеет 7-угольная пирамида?
Дано:
7-угольная пирамида.
Найти:
Число диагоналей.
Решение:
Пирамида имеет одно основание, которое является многоугольником. Диагонали пирамиды в данном контексте обычно относятся к диагоналям ее основания.
Число диагоналей многоугольника с $n$ вершинами определяется формулой $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Для 7-угольной пирамиды основание является семиугольником, то есть $n=7$.
$D_{основания} = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
Примечание: Формула для общего числа диагоналей пирамиды (соединяющих любые две несмежные вершины) также равна $\frac{n(n-3)}{2}$, поскольку "пространственные" диагонали в пирамиде, кроме диагоналей основания, отсутствуют; любые две несмежные вершины, не лежащие в основании, всегда соединены ребром, если одна из них - вершина пирамиды.
Ответ:
14.