Страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.8. Запишите пары параллельных ребер у правильной:

а) четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 5.7, а);

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 5.7, б).

Рис. 5.7

Дано:

а) Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ (см. рис. 5.7, а).

б) Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ (см. рис. 5.7, б).

Найти:

Пары параллельных ребер для каждой пирамиды.

Решение:

В правильной пирамиде основание является правильным многоугольником. Боковые ребра правильной пирамиды сходятся в вершине, поэтому они не могут быть параллельными друг другу. Также боковые ребра, как правило, не параллельны ребрам основания, так как они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Таким образом, параллельные ребра могут находиться только в плоскости основания.

а) четырех-угольной пирамиды $SABCD$ (рис. 5.7, а)

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат $ABCD$. В квадрате противоположные стороны параллельны.

Пары параллельных ребер:

• ребро $AB$ параллельно ребру $DC$, то есть $AB \parallel DC$

• ребро $BC$ параллельно ребру $AD$, то есть $BC \parallel AD$

Ответ: $AB \parallel DC$, $BC \parallel AD$.

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 5.7, б)

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны.

Пары параллельных ребер:

• ребро $AB$ параллельно ребру $ED$, то есть $AB \parallel ED$

• ребро $BC$ параллельно ребру $FE$, то есть $BC \parallel FE$

• ребро $CD$ параллельно ребру $AF$, то есть $CD \parallel AF$

Ответ: $AB \parallel ED$, $BC \parallel FE$, $CD \parallel AF$.

Рис. 5.7

5.9. Будут ли параллельны ребра $AB$ и $SC$ пирамиды: а) $SABCD$ (рис. 5.7, а); б) $SABCDEF$ (рис. 5.7 б)?

a) SABCD (рис. 5.7, а)

Решение

Рассмотрим пирамиду SABCD, изображенную на рис. 5.7 а). Ребро AB является ребром основания и полностью лежит в плоскости основания ABCD. Ребро SC является боковым ребром, соединяющим вершину пирамиды S с вершиной C основания. По определению пирамиды, ее вершина S не лежит в плоскости основания. Следовательно, прямая SC пересекает плоскость основания только в одной точке C. Для того чтобы две прямые были параллельны, они должны лежать в одной плоскости и не пересекаться. Прямая AB лежит в плоскости основания. Прямая SC не лежит в плоскости основания (так как S не лежит в этой плоскости). Если бы прямые AB и SC были параллельны, то прямая SC должна была бы быть параллельна плоскости основания. Однако, поскольку SC является боковым ребром, оно соединяет вершину S (которая не в плоскости) с вершиной C (которая в плоскости), и, следовательно, не параллельна плоскости основания (если только C не находится в бесконечности или S в плоскости основания, что не соответствует обычной пирамиде). Прямые AB и SC не лежат в одной плоскости, а значит, они являются скрещивающимися прямыми. Скрещивающиеся прямые по определению не являются параллельными.

Ответ: Нет.

б) SABCDEF (рис. 5.7 б)

Решение

Рассмотрим пирамиду SABCDEF, изображенную на рис. 5.7 б). Ребро AB является ребром основания и полностью лежит в плоскости основания ABCDEF. Ребро SC является боковым ребром, соединяющим вершину пирамиды S с вершиной C основания. Ситуация для шестиугольной пирамиды аналогична ситуации с четырехугольной пирамидой из пункта а). Вершина S пирамиды не лежит в плоскости ее основания. Прямая AB полностью лежит в плоскости основания. Прямая SC пересекает плоскость основания только в точке C, а сама вершина S находится вне этой плоскости. Следовательно, прямые AB и SC не лежат в одной плоскости. Они являются скрещивающимися прямыми. Скрещивающиеся прямые по определению не являются параллельными.

Ответ: Нет.

5.10. Имеются ли параллельные ребра у правильной:

а) треугольной пирамиды (рис. 5.8, а);

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.8, б)?

Рис. 5.8

а) треугольной пирамиды (рис. 5.8, а)

Решение: Правильная треугольная пирамида, также известная как правильный тетраэдр, имеет в основании правильный треугольник и три боковые грани, которые также являются правильными треугольниками. Все ребра такой пирамиды равны по длине.
Рассмотрим ребра:
1. Ребра основания ($AB$, $BC$, $CA$): Эти три ребра образуют правильный треугольник. В правильном треугольнике нет параллельных сторон, так как углы между ними не равны $0^{\circ}$ или $180^{\circ}$.
2. Боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$): Все боковые ребра сходятся в одной вершине $S$ (апексе пирамиды). По определению, прямые, исходящие из одной точки и не лежащие на одной прямой, не могут быть параллельными. Следовательно, боковые ребра не параллельны друг другу.
3. Ребра основания и боковые ребра: Любое ребро основания (например, $AB$) либо пересекается с боковыми ребрами в вершинах основания ($A$ и $B$), либо является скрещивающимся с остальными боковыми ребрами (например, $AB$ и $SC$). Скрещивающиеся прямые по определению не параллельны и не пересекаются.
Таким образом, у правильной треугольной пирамиды отсутствуют параллельные ребра.

Ответ: Нет.

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.8, б)

Решение: Правильная пятиугольная пирамида имеет в основании правильный пятиугольник ($ABCDE$) и пять боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками, сходящимися в вершине $S$.
Рассмотрим ребра:
1. Ребра основания ($AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$): Эти пять ребер образуют правильный пятиугольник. У правильного пятиугольника нет параллельных сторон. Параллельные стороны могут быть только у правильных многоугольников с четным числом сторон (например, у квадрата или правильного шестиугольника).
2. Боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$): Все боковые ребра сходятся в одной вершине $S$. Как и в случае с треугольной пирамидой, прямые, исходящие из одной точки, не могут быть параллельными друг другу.
3. Ребра основания и боковые ребра: Ребра основания лежат в плоскости основания, а боковые ребра соединяют вершины основания с вершиной $S$, которая не лежит в плоскости основания. Ни одно ребро основания не может быть параллельно боковому ребру, поскольку они либо пересекаются в вершине, либо являются скрещивающимися прямыми.
Следовательно, у правильной пятиугольной пирамиды нет параллельных ребер.

Ответ: Нет.

5.11. Докажите, что для шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AA_1$ и $CC_1$;

б) $AA_1$ и $DD_1$ (рис. 5.9).

Дано: Шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Доказать, что параллельны прямые:

Решение:

По определению, призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами. Ребра, соединяющие соответствующие вершины оснований, называются боковыми ребрами призмы. Важным свойством призмы является то, что все ее боковые ребра параллельны друг другу и равны по длине.

а) $AA_1$ и $CC_1$ Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами данной шестиугольной призмы. Согласно определению призмы и ее свойств, все боковые ребра призмы параллельны между собой. Следовательно, прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны. Ответ: Прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны.

б) $AA_1$ и $DD_1$ Прямые $AA_1$ и $DD_1$ также являются боковыми ребрами шестиугольной призмы. Исходя из того же определения призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу. Следовательно, прямые $AA_1$ и $DD_1$ параллельны. Ответ: Прямые $AA_1$ и $DD_1$ параллельны.

5.12. Запишите ребра правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, параллельные ребру:

а) $AA_1$

б) $AB$

Рис. 5.9

а) AA₁

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ ребро AA₁ является боковым ребром. Все боковые ребра призмы параллельны друг другу. Следовательно, ребрами, параллельными AA₁, являются BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁.

Ответ: BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁.

б) AB

Ребро AB является ребром нижнего основания призмы. Ребрами, параллельными AB, являются: ребро ED (или DE) из нижнего основания (так как в правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны); ребро A₁B₁ из верхнего основания (так как оно является соответствующим ребром параллельного и конгруэнтного верхнего основания); и ребро E₁D₁ (или D₁E₁) из верхнего основания (так как оно параллельно ребру ED нижнего основания, которое в свою очередь параллельно ребру AB).

Ответ: ED, A₁B₁, E₁D₁.

5.13. Сколько пар параллельных ребер имеется у куба?

Дано

Куб - многогранник, имеющий 12 ребер.

Найти:

Количество пар параллельных ребер куба.

Решение

1. Куб имеет 12 ребер. Эти ребра можно разделить на три группы, так как они ориентированы вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений в пространстве.

2. В каждой из этих трех групп находится по 4 ребра, которые параллельны друг другу. Например, 4 ребра, образующие "высоту" куба, параллельны между собой. Аналогично для двух других направлений ("длина" и "ширина").

3. Для того чтобы найти количество пар параллельных ребер, необходимо рассмотреть каждую из этих групп по 4 параллельных ребра. Внутри каждой группы любое ребро параллельно любому другому ребру этой же группы.

4. Количество пар, которые можно составить из 4 параллельных ребер в одной группе, определяется формулой для сочетаний (выборки без учета порядка) из $n$ элементов по $k$, которая записывается как $C_n^k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ В данном случае, $n=4$ (количество ребер в одной группе), и $k=2$ (поскольку мы ищем пары ребер).

Вычислим количество пар для одной группы: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$ Таким образом, в каждой из трех групп параллельных ребер имеется 6 пар.

5. Поскольку существует 3 такие группы параллельных ребер (например, 4 ребра, параллельные оси X; 4 ребра, параллельные оси Y; 4 ребра, параллельные оси Z), общее количество пар параллельных ребер куба равно произведению количества групп на количество пар в каждой группе: Общее количество пар = $3 \times 6 = 18$

Ответ:

18