Страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параллельны ли прямые $AA_1$ и $BC$, проходящие через вершины куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$?

Дано: Куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Найти: Определить, параллельны ли прямые AA₁ и BC.

Решение:

Для решения данной задачи рассмотрим взаимное расположение прямых AA₁ и BC в пространстве куба.

1. Прямая AA₁ является одним из рёбер куба, соединяющих вершины нижнего и верхнего оснований. Такие рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая AA₁ перпендикулярна плоскости нижнего основания ABCD.

2. Прямая BC является ребром нижнего основания ABCD. Таким образом, прямая BC целиком лежит в плоскости ABCD.

3. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если же прямые не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися и не могут быть параллельными.

4. Поскольку прямая AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD, а прямая BC лежит в этой плоскости, эти две прямые не лежат в одной плоскости. Прямая AA₁ пересекает плоскость ABCD в точке A, в то время как прямая BC находится в этой плоскости, но не проходит через точку A (если только B не совпадает с A, что неверно для куба).

5. Более наглядно, представим, что вершина A находится в начале координат $(0,0,0)$ Декартовой системы координат, а длина ребра куба равна $s$.Тогда координаты вершин будут:A: $(0,0,0)$A₁: $(0,0,s)$B: $(s,0,0)$C: $(s,s,0)$

Вектор направления прямой AA₁ можно найти как $\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, s-0) = (0,0,s)$.Вектор направления прямой BC можно найти как $\vec{BC} = (s-s, s-0, 0-0) = (0,s,0)$.

Для того чтобы две прямые были параллельны, их направляющие векторы должны быть коллинеарны, то есть один должен быть пропорционален другому. То есть, должно существовать такое число $k$, что $(0,0,s) = k \cdot (0,s,0)$.Из этого уравнения следует система:$0 = k \cdot 0$ (это всегда верно)$0 = k \cdot s$$s = k \cdot 0$

Из второго уравнения $0 = k \cdot s$ (поскольку $s \neq 0$), следует, что $k=0$.Однако, подставив $k=0$ в третье уравнение $s = k \cdot 0$, получим $s=0$, что противоречит тому, что $s$ является длиной ребра куба ($s > 0$).Таким образом, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны, а значит, прямые AA₁ и BC не параллельны. Они являются скрещивающимися прямыми, угол между которыми составляет $90^\circ$.

Ответ: Нет.