Страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, является ли тетраэдр треугольной пирамидой?

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырёх треугольных граней. В каждой вершине тетраэдра сходятся три грани. Он имеет 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр является простейшим из всех выпуклых многогранников.

Пирамида — это многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки (вершины или апекса), не лежащей в плоскости основания. Боковые грани пирамиды всегда являются треугольниками, сходящимися в апексе.

Треугольная пирамида, как следует из названия, имеет в основании треугольник. Таким образом, у треугольной пирамиды есть одно треугольное основание и три треугольные боковые грани, которые соединяют вершины основания с апексом. Общее количество граней у треугольной пирамиды равно 4, и все они являются треугольниками.

Рассмотрим количество вершин и рёбер треугольной пирамиды: у неё 3 вершины в основании и 1 вершина-апекс, что в сумме даёт 4 вершины. У неё 3 ребра в основании и 3 ребра, соединяющие вершины основания с апексом, что даёт 6 рёбер в общей сложности.

Сравнивая характеристики тетраэдра (4 треугольные грани, 4 вершины, 6 рёбер) с характеристиками треугольной пирамиды (треугольное основание и 3 треугольные боковые грани, 4 вершины, 6 рёбер), мы видим полное совпадение. Следовательно, тетраэдр является частным случаем пирамиды, а именно — треугольной пирамидой, у которой все грани являются треугольниками.

Ответ: Да, тетраэдр является треугольной пирамидой.

Вопросы

1. Какой многогранник называется призмой?

2. Какая призма называется прямой?

3. Какая призма называется правильной?

4. Как обозначают призму?

5. Какой многогранник называется пирамидой?

6. Какая пирамида называется правильной?

7. Как обозначают пирамиду?

1. Какой многогранник называется призмой? Многогранник называется призмой, если у него две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) являются параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований. Ответ:

2. Какая призма называется прямой? Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В прямой призме боковые грани являются прямоугольниками. Ответ:

3. Какая призма называется правильной? Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками. Ответ:

4. Как обозначают призму? Призму обозначают, указывая вершины одного основания, а затем вершины другого основания, например, $ABCDE-A'B'C'D'E'$. Ответ:

5. Какой многогранник называется пирамидой? Многогранник называется пирамидой, если он состоит из многоугольника (основания пирамиды) и треугольников (боковых граней), имеющих общую вершину (вершину пирамиды), не лежащую в плоскости основания. Ответ:

6. Какая пирамида называется правильной? Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр этого многоугольника (то есть вершина пирамиды проецируется в центр основания). В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Ответ:

7. Как обозначают пирамиду? Пирамиду обозначают, указывая вершину пирамиды, а затем вершины основания, например, $SABCD$, где $S$ - вершина, а $ABCD$ - вершины основания. Ответ:

4.1. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет:
а) $n$-угольная призма;
б) $n$-угольная пирамида?

Дано:

Тип многогранника: $n$-угольная призма

Тип многогранника: $n$-угольная пирамида

Найти:

Количество вершин ($В$), ребер ($Р$) и граней ($Г$)

Решение:

а) $n$-угольная призма

Призма имеет два основания, каждое из которых является $n$-угольником, и $n$ боковых граней.

Количество вершин ($В$): каждое основание имеет $n$ вершин, и поскольку оснований два, общее число вершин равно $2n$.

Количество ребер ($Р$): каждое основание имеет $n$ ребер, и есть $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее число ребер равно $n \cdot 2 + n = 3n$.

Количество граней ($Г$): призма имеет два основания и $n$ боковых граней. Общее число граней равно $2 + n$.

Ответ:

$В = 2n$

$Р = 3n$

$Г = n+2$

б) $n$-угольная пирамида

Пирамида имеет одно основание, которое является $n$-угольником, и $n$ боковых граней, сходящихся в одной вершине (вершине пирамиды).

Количество вершин ($В$): основание имеет $n$ вершин, и есть одна дополнительная вершина (вершина пирамиды). Общее число вершин равно $n + 1$.

Количество ребер ($Р$): основание имеет $n$ ребер, и есть $n$ боковых ребер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды. Общее число ребер равно $n + n = 2n$.

Количество граней ($Г$): пирамида имеет одно основание и $n$ боковых граней. Общее число граней равно $1 + n$.

Ответ:

$В = n+1$

$Р = 2n$

$Г = n+1$

4.2. На клетчатой бумаге изобразите призмы, аналогичные данным на рисунке 4.3.

а)

б)

в)

Рис. 4.3

Решение

а) Изображение треугольной призмы:
Для нижнего основания отметьте начальную точку на сетке (например, в нижнем левом углу предполагаемого основания).
1. От начальной точки проведите горизонтальный отрезок длиной 4 клетки вправо. Это будет передний край нижнего основания. Отметьте конечные точки этого отрезка как видимые вершины.
2. От начальной точки (левой видимой вершины нижнего основания) отступите 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти заднюю (скрытую) вершину нижнего основания.
3. Соедините эту скрытую вершину пунктирными линиями с обеими концами переднего края нижнего основания.
4. От каждой из трех вершин нижнего основания (двух видимых и одной скрытой) проведите вертикальные отрезки длиной 4 клетки вверх. Вертикальные рёбра, исходящие из видимых вершин, нарисуйте сплошной линией. Вертикальное ребро, исходящее из скрытой задней вершины, нарисуйте пунктирной линией.
5. Соедините верхние концы этих вертикальных рёбер, чтобы сформировать верхнее основание призмы. Все линии верхнего основания (треугольника) должны быть сплошными, так как они полностью видимы.
Ответ: Изображение призмы, аналогичной указанной на рисунке а), получено путём следования описанным шагам.

б) Изображение пятиугольной призмы:
Для нижнего основания отметьте начальную точку на сетке (например, в нижнем левом углу предполагаемого основания).
1. От начальной точки проведите горизонтальный отрезок длиной 4 клетки вправо. Это будет передний край нижнего основания. Отметьте конечные точки этого отрезка.
2. От левого конца переднего края отступите 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти следующую вершину нижнего основания. Соедините её сплошной линией.
3. От правого конца переднего края отступите 1 клетку влево и 1 клетку вверх, чтобы найти ещё одну вершину нижнего основания. Соедините её сплошной линией.
4. От предыдущей найденной левой вершины (той, что на 1 клетку вправо и 1 клетку вверх от начальной точки) отступите 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти самую дальнюю (скрытую) вершину нижнего основания.
5. Соедините эту скрытую вершину пунктирными линиями с двумя ближайшими к ней вершинами, найденными на шагах 2 и 3.
6. От каждой из пяти вершин нижнего основания (четырех видимых и одной скрытой) проведите вертикальные отрезки длиной 3 клетки вверх. Вертикальные рёбра, исходящие из видимых вершин, нарисуйте сплошной линией. Вертикальное ребро, исходящее из скрытой задней вершины, нарисуйте пунктирной линией.
7. Соедините верхние концы этих вертикальных рёбер, чтобы сформировать верхнее основание призмы. Все линии верхнего основания (пятиугольника) должны быть сплошными.
Ответ: Изображение призмы, аналогичной указанной на рисунке б), получено путём следования описанным шагам.

в) Изображение шестиугольной призмы:
Для нижнего основания отметьте начальную точку на сетке (например, в нижнем левом углу предполагаемого основания).
1. От начальной точки проведите горизонтальный отрезок длиной 4 клетки вправо. Это будет передний край нижнего основания. Отметьте конечные точки этого отрезка.
2. От левого конца переднего края отступите 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти следующую вершину нижнего основания. Соедините её сплошной линией.
3. От правого конца переднего края отступите 1 клетку влево и 1 клетку вверх, чтобы найти ещё одну вершину нижнего основания. Соедините её сплошной линией.
4. От предыдущей найденной левой вершины (1 клетка вправо и 1 клетка вверх от начальной точки) отступите 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти следующую (скрытую) вершину нижнего основания. Соедините её пунктирной линией.
5. От предыдущей найденной правой вершины (1 клетка влево и 1 клетка вверх от правого конца переднего края) отступите 2 клетки влево и 1 клетку вверх, чтобы найти ещё одну (скрытую) вершину нижнего основания. Соедините её пунктирной линией.
6. Соедините две последние найденные скрытые вершины горизонтальным пунктирным отрезком длиной 2 клетки. Таким образом, нижнее основание призмы будет представлять собой шестиугольник.
7. От каждой из шести вершин нижнего основания (четырех видимых и двух скрытых) проведите вертикальные отрезки длиной 3 клетки вверх. Вертикальные рёбра, исходящие из видимых вершин (две от переднего края, две от боковых видимых сторон), нарисуйте сплошной линией. Вертикальные рёбра, исходящие из скрытых задних вершин, нарисуйте пунктирной линией.
8. Соедините верхние концы этих вертикальных рёбер, чтобы сформировать верхнее основание призмы. Все линии верхнего основания (шестиугольника) должны быть сплошными.
Ответ: Изображение призмы, аналогичной указанной на рисунке в), получено путём следования описанным шагам.