Страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.6. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольный параллелепипед, аналогичный данному на рисунке 3.8.

Рис. 3.8

Дано: Изображение прямоугольного параллелепипеда на клетчатой бумаге (Рис. 3.8), который необходимо воспроизвести.

Найти: Изобразить прямоугольный параллелепипед, аналогичный данному на рисунке 3.8, на клетчатой бумаге.

Решение:

Для того чтобы изобразить прямоугольный параллелепипед, аналогичный данному на рисунке 3.8, следуйте пошаговой инструкции, используя клетчатую бумагу:

1. Определение размеров и перспективы:

Внимательно изучите рисунок 3.8. Передняя видимая грань параллелепипеда имеет ширину 4 клетки и высоту 3 клетки. Глубина изображена таким образом, что линии, уходящие в глубину, смещаются на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх относительно исходной точки.

2. Построение передней грани:

• Выберите начальную точку на клетчатой бумаге, которая будет служить нижним левым углом передней грани.

• От этой точки проведите горизонтальную линию вправо на 4 клетки. Это будет нижняя сторона передней грани.

• От левого и правого концов этой горизонтальной линии проведите две вертикальные линии вверх на 3 клетки.

• Соедините верхние концы этих вертикальных линий горизонтальной линией на 4 клетки. Таким образом, вы получите прямоугольник размером 4x3 клетки, представляющий переднюю видимую грань параллелепипеда.

3. Построение линий глубины (перспектива):

• Из каждого из трех видимых углов передней грани (нижний правый, верхний правый, верхний левый) проведите линии, уходящие в глубину. Для этого от каждого угла отсчитайте 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, а затем поставьте точку.

• Из нижнего правого угла передней грани проведите прямую линию до точки, смещенной на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Это будет видимое ребро.

• Из верхнего правого угла передней грани проведите прямую линию до точки, смещенной на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Это будет видимое ребро.

• Из верхнего левого угла передней грани проведите прямую линию до точки, смещенной на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Это будет видимое ребро.

4. Построение задних и скрытых граней:

• Соедините конечные точки линий глубины, полученные на шаге 3, чтобы сформировать задние видимые ребра:

• Соедините верхнюю правую конечную точку (от верхнего правого угла передней грани) с верхней левой конечной точкой (от верхнего левого угла передней грани) горизонтальной линией на 4 клетки. Это будет верхнее заднее ребро.

• Соедините нижнюю правую конечную точку (от нижнего правого угла передней грани) с верхней правой конечной точкой (от верхнего правого угла передней грани) вертикальной линией на 3 клетки. Это будет заднее правое ребро.

• Теперь добавьте скрытые ребра, используя пунктирные линии (как на Рис. 3.8):

• Из нижнего левого угла передней грани проведите пунктирную линию до точки, смещенной на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх (это будет нижний левый задний угол параллелепипеда).

• От этой новой точки (нижний левый задний угол) проведите пунктирную линию вертикально вверх на 3 клетки (до точки, которая является конечной точкой линии глубины от верхнего левого угла передней грани).

• От этой же новой точки (нижний левый задний угол) проведите пунктирную линию горизонтально вправо на 4 клетки (до точки, которая является конечной точкой линии глубины от нижнего правого угла передней грани).

В результате этих действий вы получите изображение прямоугольного параллелепипеда, которое точно повторяет пропорции, ориентацию и перспективу, показанные на рисунке 3.8.

Ответ: Изображение прямоугольного параллелепипеда выполнено в соответствии с инструкциями, аналогично примеру на рисунке 3.8.

3.7. На клетчатой бумаге изображены три ребра куба (рис. 3.9). Изобразите весь куб.

а)

б)

Рис. 3.9

Дано:

На клетчатой бумаге изображены три ребра куба (рис. 3.9).

Найти:

Изобразить весь куб.

Решение:

Для изображения всего куба необходимо достроить остальные девять ребер, используя заданные три ребра, их длины и направление.

Заметим, что длина ребра куба составляет 4 клетки, если смотреть на вертикальные и горизонтальные рёбра.

Направление «в глубину» (ребра, уходящие от наблюдателя) изображается в данном случае как диагональ квадрата со стороной 2 клетки (2 клетки вправо и 2 клетки вверх для случая а) и 2 клетки влево и 2 клетки вниз для случая б), исходя из взаимного расположения и типа линий).

а)

На рисунке а) изображены три ребра, выходящие из одной вершины. Два ребра (вертикальное и горизонтальное) являются сплошными, что указывает на то, что это видимые ребра, лежащие во фронтальной плоскости. Третье ребро, уходящее «в глубину», показано пунктиром, что означает, что оно скрыто.

Предположим, что общая вершина находится в точке $(0,0)$ на координатной сетке, где оси X и Y соответствуют горизонтали и вертикали. Существующие ребра: вертикальное сплошное ребро от $(0,0)$ до $(0,4)$; горизонтальное сплошное ребро от $(0,0)$ до $(4,0)$; пунктирное ребро, уходящее в глубину, от $(0,0)$ до $(2,2)$.

Далее достраиваем переднюю грань (все линии сплошные): от $(4,0)$ проведите вертикальное ребро до $(4,4)$; от $(0,4)$ проведите горизонтальное ребро до $(4,4)$. Таким образом, формируется квадрат $(0,0)-(4,0)-(4,4)-(0,4)$, представляющий собой переднюю грань куба.

Затем достраиваем остальные ребра, уходящие в глубину (параллельные пунктирному ребру): от $(4,0)$ проведите пунктирное ребро до $(4+2, 0+2) = (6,2)$; от $(0,4)$ проведите сплошное ребро до $(0+2, 4+2) = (2,6)$; от $(4,4)$ проведите сплошное ребро до $(4+2, 4+2) = (6,6)$.

Наконец, соединяем концы ребер, уходящих в глубину, чтобы сформировать заднюю грань и завершить изображение куба: соедините $(2,2)$ и $(6,2)$ (нижнее заднее ребро) пунктирной линией; соедините $(6,2)$ и $(6,6)$ (правое заднее вертикальное ребро) сплошной линией; соедините $(2,6)$ и $(6,6)$ (верхнее заднее ребро) сплошной линией; соедините $(2,2)$ и $(2,6)$ (левое заднее вертикальное ребро) пунктирной линией.

Ответ: Изображение куба для случая а) будет представлять собой переднюю грань, нарисованную сплошными линиями (квадрат 4x4 клетки), три ребра, уходящие в глубину (два сплошных, одно пунктирное), и три видимых ребра задней грани (два сплошных, одно пунктирное) с двумя скрытыми ребрами задней грани (две пунктирных линии).

б)

На рисунке б) также изображены три ребра, выходящие из одной вершины. Одно ребро (вертикальное) является сплошным, а два других (горизонтальное и уходящее в глубину) — пунктирными.

Это указывает на то, что общая вершина, скорее всего, является задней (или дальней) вершиной куба, а единственное сплошное ребро является наиболее "близким" к наблюдателю из этой задней группы.

Предположим, что общая вершина находится в точке $(6,2)$ на координатной сетке (если использовать ту же систему координат, что и для случая а), где $(0,0)$ — левый нижний угол передней грани). Существующие ребра: вертикальное сплошное ребро от $(6,2)$ до $(6,6)$ (это заднее правое вертикальное ребро); горизонтальное пунктирное ребро от $(6,2)$ до $(2,2)$ (это заднее нижнее ребро); пунктирное ребро, уходящее к наблюдателю, от $(6,2)$ до $(4,0)$ (это нижнее правое ребро, идущее вперед).

Далее достраиваем заднюю грань: от $(6,6)$ проведите горизонтальное ребро до $(2,6)$ (это верхнее заднее ребро — сплошная линия); от $(2,2)$ проведите вертикальное ребро до $(2,6)$ (это заднее левое вертикальное ребро — пунктирная линия). Таким образом, формируется квадрат $(2,2)-(6,2)-(6,6)-(2,6)$, представляющий собой заднюю грань куба.

Затем достраиваем остальные ребра, идущие к наблюдателю (параллельные ребру от $(6,2)$ до $(4,0)$): от $(6,6)$ проведите сплошное ребро до $(4,4)$; от $(2,2)$ проведите пунктирное ребро до $(0,0)$; от $(2,6)$ проведите сплошное ребро до $(0,4)$.

Наконец, соединяем концы ребер, идущих к наблюдателю, чтобы сформировать переднюю грань: соедините $(0,0)$ и $(4,0)$ (нижнее переднее ребро) сплошной линией; соедините $(4,0)$ и $(4,4)$ (правое переднее вертикальное ребро) сплошной линией; соедините $(0,4)$ и $(4,4)$ (верхнее переднее ребро) сплошной линией; соедините $(0,0)$ и $(0,4)$ (левое переднее вертикальное ребро) сплошной линией.

Ответ: Изображение куба для случая б) будет представлять собой заднюю грань (частично сплошные, частично пунктирные линии), три ребра, идущие вперед (два сплошных, одно пунктирное), и полностью видимую переднюю грань (все линии сплошные).

3.8. Сколько диагоналей имеет:
а) тетраэдр;
б) куб;
в) параллелепипед?

а) тетраэдр

Решение: Тетраэдр - это многогранник, имеющий 4 вершины. Диагональ многогранника определяется как отрезок, соединяющий две вершины, которые не лежат на одной грани. В тетраэдре любые две вершины соединены ребром и, следовательно, лежат на одной грани. Например, если вершины тетраэдра обозначены как $V_1, V_2, V_3, V_4$, то вершины $V_1$ и $V_2$ соединены ребром и принадлежат граням $V_1V_2V_3$ и $V_1V_2V_4$. Таким образом, не существует пары вершин тетраэдра, которые не лежали бы на одной грани. Следовательно, тетраэдр не имеет пространственных диагоналей.

Ответ: 0

б) куб

Решение: Куб - это многогранник, имеющий 8 вершин. Пространственная диагональ куба - это отрезок, соединяющий две вершины, которые не лежат на одной грани. Каждая такая диагональ проходит через центр куба и соединяет две противоположные вершины. Из каждой из 8 вершин куба можно провести ровно одну пространственную диагональ к противоположной вершине. Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, чтобы найти общее количество диагоналей, необходимо разделить количество вершин на 2: $8 / 2 = 4$.

Ответ: 4

в) параллелепипед

Решение: Параллелепипед - это многогранник, который, как и куб, имеет 8 вершин. Пространственная диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани. Каждая такая диагональ проходит через центр параллелепипеда и соединяет две противоположные вершины. Из каждой из 8 вершин параллелепипеда можно провести ровно одну пространственную диагональ к противоположной вершине. Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, общее количество пространственных диагоналей равно $8 / 2 = 4$.

Ответ: 4

3.9. Какие из изображенных на рисунке 3.10 фигур являются развертками куба?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 3.10

Для того чтобы определить, является ли фигура разверткой куба, необходимо убедиться, что она состоит из шести квадратов (что выполняется для всех представленных фигур) и что при складывании она образует замкнутый куб без наложений и пробелов. Один из способов проверки — это мысленное складывание фигуры. Также можно использовать правило, что развертка куба должна иметь периметр, равный 14 единичным отрезкам (сторонам квадрата). Однако, периметр в 14 единиц является необходимым, но не достаточным условием (фигура может иметь периметр 14, но при этом перекрываться при складывании).

а)

Эта фигура состоит из двух столбцов по три квадрата. При попытке сложить ее, например, если взять центральные квадраты (в центре левого и правого столбца) за основания, то верхние и нижние квадраты в столбцах будут накладываться друг на друга, пытаясь занять одно и то же пространство (например, стать верхней гранью). Альтернативно, если рассматривать один из центральных квадратов как основание, то другие квадраты не смогут сформировать боковые грани и верхнюю грань без перекрытий или отсутствия граней. Периметр данной фигуры составляет 10 единичных отрезков, что не соответствует необходимому условию в 14 отрезков для развертки куба.

Ответ: Нет

б)

Эта фигура представляет собой три квадрата в ряд с вертикальным "хвостом" из трех квадратов, присоединенным к центральному квадрату верхнего ряда. Это одна из стандартных разверток куба (вариант 1-4-1 или Т-образной развертки). Если центральный квадрат из трех верхних считать передней гранью, то два крайних квадрата будут боковыми гранями. Вертикальный "хвост" может быть сложен как нижняя грань, задняя грань и верхняя грань. Периметр фигуры составляет 14 единичных отрезков.

Ответ: Да

в)

Эта фигура топологически идентична фигуре б). Она также является Т-образной разверткой. Периметр составляет 14 единичных отрезков.

Ответ: Да

г)

Эта фигура представляет собой шесть квадратов, расположенных в один вертикальный столбец. Если попытаться сложить такую фигуру, взяв, например, третий квадрат снизу за основание, то второй квадрат снизу станет передней гранью, а первый квадрат снизу — верхней гранью. Четвертый квадрат снизу станет задней гранью, пятый — нижней гранью (перекрывая основание), а шестой — снова верхней гранью (перекрывая первый квадрат). Таким образом, два квадрата (первый и шестой) будут пытаться занять одну и ту же грань куба, что приведет к наложению. Хотя периметр данной фигуры составляет 14 единичных отрезков, она не может быть разверткой куба из-за перекрытия граней при складывании.

Ответ: Нет

д)

Эта фигура является "ступенчатой" или "зигзагообразной" разверткой. Если взять третий квадрат снизу слева (С на схеме A-B, C-D, E-F) за основание, то остальные квадраты могут быть последовательно сложены, образуя боковые и верхнюю грани.Например, если принять центральный квадрат (C) за нижнюю грань, то B станет передней, A – левой, D – правой, E – задней, а F – верхней гранью. Все грани будут уникальны и соединены корректно. Периметр фигуры составляет 14 единичных отрезков.

Ответ: Да

е)

Эта фигура представляет собой классическую "крестообразную" развертку куба (также известную как 1-4-1 развертка). Это одна из наиболее узнаваемых и стандартных разверток. Центральный квадрат (из ряда четырех) может быть основанием, четыре квадрата вокруг него — боковыми гранями, а оставшийся квадрат — верхней гранью. Периметр фигуры составляет 14 единичных отрезков.

Ответ: Да

ж)

Эта фигура имеет сложную форму. При попытке ее сложить, обнаружится, что некоторые грани не смогут соединиться должным образом или не будут находиться в нужном месте относительно друг друга. Например, если взять квадрат, находящийся посередине вертикального столбца (четвертый снизу, S4 на схеме 1-2, 3, 4-5, 6), за основание, то соседние квадраты (S3, S5, S6) могут стать боковыми гранями. Однако, оставшиеся квадраты (S1, S2) не смогут корректно сформировать недостающие грани (левую и верхнюю) без создания зазоров или наложений, поскольку грани S3 и S5, которые должны быть соседними (например, передняя и правая), не имеют общего ребра в развертке. Периметр данной фигуры составляет 13 единичных отрезков, что не соответствует необходимому условию в 14 отрезков.

Ответ: Нет

з)

Эта фигура также является "ступенчатой" или "зигзагообразной" разверткой, похожей на фигуру д), но с другим расположением. Она является одной из 11 возможных разверток куба. При мысленном складывании можно убедиться, что все грани сойдутся без перекрытий. Периметр фигуры составляет 14 единичных отрезков.

Ответ: Да

3.10. Нарисуйте развертки тетраэдра и прямоугольного параллелепипеда.

Развертки тетраэдра:

Развертка тетраэдра представляет собой фигуру, состоящую из четырех треугольников, которые при складывании образуют трехмерный тетраэдр. Для правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Наиболее распространенная развертка правильного тетраэдра выглядит как один центральный равносторонний треугольник, к каждой из трех сторон которого примыкает еще один равносторонний треугольник.

Ответ: Развертка тетраэдра состоит из четырех соединенных треугольников.

Развертки прямоугольного параллелепипеда:

Развертка прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольных граней, которые при складывании образуют объемную фигуру. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда попарно равны. Существует несколько вариантов разверток, но наиболее распространенная представляет собой "крестообразную" форму. Она может быть построена как ряд из четырех прямоугольников (боковые грани), к одному из которых (обычно второму или третьему в ряду) присоединены два других прямоугольника (основания).

Ответ: Развертка прямоугольного параллелепипеда состоит из шести соединенных прямоугольников, образующих его грани.

3.11. Изготовьте развертки и склейте из них модели тетраэдра, куба и прямоугольного параллелепипеда.

Для изготовления моделей тетраэдра, куба и прямоугольного параллелепипеда необходимо сначала создать их развертки на плоской поверхности (бумаге или картоне), затем вырезать их, согнуть по линиям сгиба и склеить выступающие части.

Тетраэдр

Тетраэдр – это простейший правильный многогранник, у которого 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Все его грани являются равносторонними треугольниками.

Развертка тетраэдра представляет собой четыре равносторонних треугольника, соединенных таким образом, что один центральный треугольник окружен тремя другими, каждый из которых примыкает к одной из сторон центрального треугольника. Для склеивания необходимо добавить небольшие клапаны по некоторым внешним сторонам, которые будут использоваться для соединения граней. После вырезания развертки, ее необходимо согнуть по линиям, образующим стороны центрального треугольника, так чтобы три внешних треугольника поднялись и их вершины сошлись в одной точке, образуя четвертую вершину тетраэдра. Клапаны промазываются клеем и фиксируются изнутри.

Ответ: Модель тетраэдра изготавливается из развертки, состоящей из четырех равносторонних треугольников.

Куб

Куб – это правильный многогранник, у которого 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Все его грани являются квадратами.

Существует 11 различных разверток куба. Наиболее распространенная развертка выглядит как "крест", где один квадрат расположен по центру, а четыре других примыкают к его сторонам (образуя "руки" креста), а шестой квадрат примыкает к одной из "рук" (обычно к центральному квадрату "руки", которая находится напротив центрального квадрата). Для склеивания также добавляются клапаны по некоторым ребрам. После вырезания развертки, ее следует согнуть по всем линиям, разделяющим квадраты. Боковые грани поднимаются, а затем верхняя грань закрывает модель. Клапаны используются для надежного соединения ребер.

Ответ: Модель куба изготавливается из развертки, состоящей из шести квадратов.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Все его грани являются прямоугольниками, противоположные грани попарно равны.

Развертка прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников. Она может быть представлена как "лента" из четырех прямоугольников (граней боковой поверхности), расположенных в ряд и примыкающих друг к другу по широким сторонам, а к одному из прямоугольников этой "ленты" (обычно второму или третьему по счету) примыкают два других прямоугольника (основания) по его длинным сторонам. То есть, два основания "выступают" в стороны от центральной полосы из четырех боковых граней. Размеры прямоугольников зависят от желаемых размеров сторон параллелепипеда (длины, ширины, высоты). Как и в предыдущих случаях, по необходимым ребрам развертки добавляются склеивающие клапаны. После вырезания и сгибания по всем линиям, модель формируется путем соединения граней с помощью клапанов, начиная с боковых сторон и заканчивая закрытием оснований.

Ответ: Модель прямоугольного параллелепипеда изготавливается из развертки, состоящей из шести прямоугольников.

3.12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, содержащие его ребра и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $BCC_1$.

Найти: Плоскости, содержащие ребра куба и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Решение: Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскостями, содержащими его ребра, являются шесть граней куба:
1. Нижняя грань: $ABCD$
2. Верхняя грань: $A_1B_1C_1D_1$
3. Передняя грань: $ABB_1A_1$
4. Задняя грань: $DCC_1D_1$
5. Правая грань: $BCC_1B_1$ (совпадает с заданной плоскостью $BCC_1$)
6. Левая грань: $ADD_1A_1$

Нам необходимо определить, какие из этих плоскостей пересекают плоскость $BCC_1$. Две плоскости пересекаются, если они не параллельны и не совпадают. В задачах по стереометрии под "пересечением плоскостей" подразумевается их общая линия.

Проанализируем каждую грань относительно плоскости $BCC_1$ (которая является плоскостью $BCC_1B_1$):
1. Плоскость $ABCD$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $BC$. Следовательно, плоскость $ABCD$ удовлетворяет условию.
2. Плоскость $A_1B_1C_1D_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $B_1C_1$. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1D_1$ удовлетворяет условию.
3. Плоскость $ABB_1A_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $BB_1$. Следовательно, плоскость $ABB_1A_1$ удовлетворяет условию.
4. Плоскость $DCC_1D_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $CC_1$. Следовательно, плоскость $DCC_1D_1$ удовлетворяет условию.
5. Плоскость $BCC_1B_1$: Эта плоскость является самой заданной плоскостью $BCC_1$. Она не пересекает себя по линии, а совпадает сама с собой. В контексте таких задач обычно подразумеваются пересечения с другими плоскостями по линии, поэтому эта плоскость исключается из списка.
6. Плоскость $ADD_1A_1$: Эта плоскость параллельна плоскости $BCC_1B_1$ (так как, например, $AD \parallel BC$ и $DD_1 \parallel CC_1$). Параллельные плоскости не пересекаются. Следовательно, плоскость $ADD_1A_1$ не удовлетворяет условию.

Таким образом, искомыми плоскостями являются те грани куба, которые пересекают плоскость $BCC_1$ по линии.

Ответ: Плоскости $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$, $ABB_1A_1$, $DCC_1D_1$.