Номер 3.12, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, содержащие его ребра и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $BCC_1$.

Найти: Плоскости, содержащие ребра куба и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Решение: Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскостями, содержащими его ребра, являются шесть граней куба:
1. Нижняя грань: $ABCD$
2. Верхняя грань: $A_1B_1C_1D_1$
3. Передняя грань: $ABB_1A_1$
4. Задняя грань: $DCC_1D_1$
5. Правая грань: $BCC_1B_1$ (совпадает с заданной плоскостью $BCC_1$)
6. Левая грань: $ADD_1A_1$

Нам необходимо определить, какие из этих плоскостей пересекают плоскость $BCC_1$. Две плоскости пересекаются, если они не параллельны и не совпадают. В задачах по стереометрии под "пересечением плоскостей" подразумевается их общая линия.

Проанализируем каждую грань относительно плоскости $BCC_1$ (которая является плоскостью $BCC_1B_1$):
1. Плоскость $ABCD$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $BC$. Следовательно, плоскость $ABCD$ удовлетворяет условию.
2. Плоскость $A_1B_1C_1D_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $B_1C_1$. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1D_1$ удовлетворяет условию.
3. Плоскость $ABB_1A_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $BB_1$. Следовательно, плоскость $ABB_1A_1$ удовлетворяет условию.
4. Плоскость $DCC_1D_1$: Эта плоскость пересекается с плоскостью $BCC_1B_1$ по ребру $CC_1$. Следовательно, плоскость $DCC_1D_1$ удовлетворяет условию.
5. Плоскость $BCC_1B_1$: Эта плоскость является самой заданной плоскостью $BCC_1$. Она не пересекает себя по линии, а совпадает сама с собой. В контексте таких задач обычно подразумеваются пересечения с другими плоскостями по линии, поэтому эта плоскость исключается из списка.
6. Плоскость $ADD_1A_1$: Эта плоскость параллельна плоскости $BCC_1B_1$ (так как, например, $AD \parallel BC$ и $DD_1 \parallel CC_1$). Параллельные плоскости не пересекаются. Следовательно, плоскость $ADD_1A_1$ не удовлетворяет условию.

Таким образом, искомыми плоскостями являются те грани куба, которые пересекают плоскость $BCC_1$ по линии.

Ответ: Плоскости $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$, $ABB_1A_1$, $DCC_1D_1$.