Номер 3.7, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.7. На клетчатой бумаге изображены три ребра куба (рис. 3.9). Изобразите весь куб.

а)

б)

Рис. 3.9

Дано:

На клетчатой бумаге изображены три ребра куба (рис. 3.9).

Найти:

Изобразить весь куб.

Решение:

Для изображения всего куба необходимо достроить остальные девять ребер, используя заданные три ребра, их длины и направление.

Заметим, что длина ребра куба составляет 4 клетки, если смотреть на вертикальные и горизонтальные рёбра.

Направление «в глубину» (ребра, уходящие от наблюдателя) изображается в данном случае как диагональ квадрата со стороной 2 клетки (2 клетки вправо и 2 клетки вверх для случая а) и 2 клетки влево и 2 клетки вниз для случая б), исходя из взаимного расположения и типа линий).

а)

На рисунке а) изображены три ребра, выходящие из одной вершины. Два ребра (вертикальное и горизонтальное) являются сплошными, что указывает на то, что это видимые ребра, лежащие во фронтальной плоскости. Третье ребро, уходящее «в глубину», показано пунктиром, что означает, что оно скрыто.

Предположим, что общая вершина находится в точке $(0,0)$ на координатной сетке, где оси X и Y соответствуют горизонтали и вертикали. Существующие ребра: вертикальное сплошное ребро от $(0,0)$ до $(0,4)$; горизонтальное сплошное ребро от $(0,0)$ до $(4,0)$; пунктирное ребро, уходящее в глубину, от $(0,0)$ до $(2,2)$.

Далее достраиваем переднюю грань (все линии сплошные): от $(4,0)$ проведите вертикальное ребро до $(4,4)$; от $(0,4)$ проведите горизонтальное ребро до $(4,4)$. Таким образом, формируется квадрат $(0,0)-(4,0)-(4,4)-(0,4)$, представляющий собой переднюю грань куба.

Затем достраиваем остальные ребра, уходящие в глубину (параллельные пунктирному ребру): от $(4,0)$ проведите пунктирное ребро до $(4+2, 0+2) = (6,2)$; от $(0,4)$ проведите сплошное ребро до $(0+2, 4+2) = (2,6)$; от $(4,4)$ проведите сплошное ребро до $(4+2, 4+2) = (6,6)$.

Наконец, соединяем концы ребер, уходящих в глубину, чтобы сформировать заднюю грань и завершить изображение куба: соедините $(2,2)$ и $(6,2)$ (нижнее заднее ребро) пунктирной линией; соедините $(6,2)$ и $(6,6)$ (правое заднее вертикальное ребро) сплошной линией; соедините $(2,6)$ и $(6,6)$ (верхнее заднее ребро) сплошной линией; соедините $(2,2)$ и $(2,6)$ (левое заднее вертикальное ребро) пунктирной линией.

Ответ: Изображение куба для случая а) будет представлять собой переднюю грань, нарисованную сплошными линиями (квадрат 4x4 клетки), три ребра, уходящие в глубину (два сплошных, одно пунктирное), и три видимых ребра задней грани (два сплошных, одно пунктирное) с двумя скрытыми ребрами задней грани (две пунктирных линии).

б)

На рисунке б) также изображены три ребра, выходящие из одной вершины. Одно ребро (вертикальное) является сплошным, а два других (горизонтальное и уходящее в глубину) — пунктирными.

Это указывает на то, что общая вершина, скорее всего, является задней (или дальней) вершиной куба, а единственное сплошное ребро является наиболее "близким" к наблюдателю из этой задней группы.

Предположим, что общая вершина находится в точке $(6,2)$ на координатной сетке (если использовать ту же систему координат, что и для случая а), где $(0,0)$ — левый нижний угол передней грани). Существующие ребра: вертикальное сплошное ребро от $(6,2)$ до $(6,6)$ (это заднее правое вертикальное ребро); горизонтальное пунктирное ребро от $(6,2)$ до $(2,2)$ (это заднее нижнее ребро); пунктирное ребро, уходящее к наблюдателю, от $(6,2)$ до $(4,0)$ (это нижнее правое ребро, идущее вперед).

Далее достраиваем заднюю грань: от $(6,6)$ проведите горизонтальное ребро до $(2,6)$ (это верхнее заднее ребро — сплошная линия); от $(2,2)$ проведите вертикальное ребро до $(2,6)$ (это заднее левое вертикальное ребро — пунктирная линия). Таким образом, формируется квадрат $(2,2)-(6,2)-(6,6)-(2,6)$, представляющий собой заднюю грань куба.

Затем достраиваем остальные ребра, идущие к наблюдателю (параллельные ребру от $(6,2)$ до $(4,0)$): от $(6,6)$ проведите сплошное ребро до $(4,4)$; от $(2,2)$ проведите пунктирное ребро до $(0,0)$; от $(2,6)$ проведите сплошное ребро до $(0,4)$.

Наконец, соединяем концы ребер, идущих к наблюдателю, чтобы сформировать переднюю грань: соедините $(0,0)$ и $(4,0)$ (нижнее переднее ребро) сплошной линией; соедините $(4,0)$ и $(4,4)$ (правое переднее вертикальное ребро) сплошной линией; соедините $(0,4)$ и $(4,4)$ (верхнее переднее ребро) сплошной линией; соедините $(0,0)$ и $(0,4)$ (левое переднее вертикальное ребро) сплошной линией.

Ответ: Изображение куба для случая б) будет представлять собой заднюю грань (частично сплошные, частично пунктирные линии), три ребра, идущие вперед (два сплошных, одно пунктирное), и полностью видимую переднюю грань (все линии сплошные).