Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.5. Запишите ребра шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, скрещивающиеся с ребром:

а) $AA_1$

б) $AB$

Рис. 6.5

a) $AA_1$

Ребра, скрещивающиеся с ребром $AA_1$, это такие ребра, которые не лежат в одной плоскости с ребром $AA_1$, не параллельны ему и не пересекаются с ним. Ребро $AA_1$ является боковым ребром призмы.

Ребра, пересекающие $AA_1$, это $AB$, $AF$, $A_1B_1$, $A_1F_1$. Ребра, параллельные $AA_1$, это $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$, $EE_1$, $FF_1$.

Следовательно, скрещивающимися ребрами являются те, которые не попадают в вышеуказанные категории и не лежат с $AA_1$ в одной плоскости. Это ребра нижнего основания, не имеющие общих вершин с $A$: $BC$, $CD$, $DE$, $EF$. А также ребра верхнего основания, не имеющие общих вершин с $A_1$: $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1E_1$, $E_1F_1$. Все эти 8 ребер не параллельны $AA_1$, не пересекаются с $AA_1$ и не лежат с ним в одной плоскости.

Ответ: $BC, CD, DE, EF, B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1$

б) $AB$

Ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$, это такие ребра, которые не пересекаются с ребром $AB$ и не параллельны ему. В контексте школьной программы, это часто подразумевает отрезки, которые не имеют общих точек и не параллельны, даже если прямые, их содержащие, пересекаются (т.е. они лежат в одной плоскости, но сами отрезки не пересекаются).

Ребро $AB$ является ребром нижнего основания. Ребра, пересекающие $AB$, это $AA_1$, $AF$, $BB_1$, $BC$. Ребра, параллельные $AB$, это $A_1B_1$, $DE$, $D_1E_1$ (поскольку призма, как правило, считается правильной, и $DE$ является противоположной стороной $AB$ в шестиугольнике).

Таким образом, скрещивающимися ребрами являются: боковые ребра, не пересекающие $AB$: $CC_1$, $DD_1$, $EE_1$, $FF_1$; ребра верхнего основания, не пересекающие и не параллельные $AB$: $B_1C_1$, $C_1D_1$, $E_1F_1$, $F_1A_1$ (ребра $A_1B_1$ и $D_1E_1$ параллельны $AB$); и ребра нижнего основания, которые не пересекаются с $AB$ и не параллельны ему (как отрезки): $CD$, $EF$.

Ответ: $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1, B_1C_1, C_1D_1, E_1F_1, F_1A_1, CD, EF$

6.6. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у тетраэдра?

Дано:

Геометрическая фигура – тетраэдр.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение

1. Определение тетраэдра: Тетраэдр – это простейший многогранник, состоящий из 4 вершин, 4 граней (треугольников) и 6 ребер.

2. Общее количество ребер: Пусть $N$ – число ребер тетраэдра. У тетраэдра $N = 6$ ребер.

3. Общее количество пар ребер: Количество способов выбрать 2 ребра из 6 можно найти по формуле сочетаний $C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=6$ (общее количество ребер) и $k=2$ (количество ребер в паре).

Количество всех возможных пар ребер:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Таким образом, всего у тетраэдра можно составить 15 различных пар ребер.

4. Количество пересекающихся пар ребер: Две прямые в пространстве пересекаются, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Ребра тетраэдра пересекаются, если они имеют общую вершину.

У тетраэдра 4 вершины. Из каждой вершины исходит 3 ребра. Например, из вершины A выходят ребра AB, AC, AD. Эти ребра образуют пары, которые пересекаются в вершине A: (AB, AC), (AB, AD), (AC, AD).

Количество пар ребер, исходящих из одной вершины, равно $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.

Поскольку таких вершин 4, общее количество пересекающихся пар ребер будет $4 \times 3 = 12$.

5. Количество скрещивающихся пар ребер: Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. В тетраэдре нет параллельных ребер, так как все его грани – треугольники. Следовательно, каждая пара ребер либо пересекается, либо является скрещивающейся.

Количество скрещивающихся пар ребер можно найти, вычтя из общего количества пар ребер количество пересекающихся пар:

Количество скрещивающихся пар = Общее количество пар - Количество пересекающихся пар

Количество скрещивающихся пар $= 15 - 12 = 3$.

Для наглядности, если обозначить вершины тетраэдра A, B, C, D, то пары скрещивающихся ребер будут следующими (ребра, не имеющие общих вершин и не лежащие в одной грани):

1. Ребро AB и ребро CD

2. Ребро AC и ребро BD

3. Ребро AD и ребро BC

Ответ: 3

6.7. Как расположены в пространстве прямые $a$ и $b$, проведенные в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ (рис. 6.6)? Ответ объясните.

Рис. 6.6

Дано

Две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$. (см. рис. 6.6)

Найти:

Взаимное расположение прямых $a$ и $b$ в пространстве.

Решение

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
Согласно рисунку 6.6, плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными и пересекаются по некоторой общей прямой. Прямые $a$ и $b$ не являются этой общей прямой пересечения плоскостей, не параллельны ей и не пересекают её в одной и той же точке.
Визуально, прямые $a$ и $b$ не параллельны между собой.
Визуально, прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Если бы они пересекались, то точка их пересечения должна была бы принадлежать как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Это означало бы, что точка пересечения лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Однако рисунок не демонстрирует такого пересечения.
В пространстве две прямые могут быть:
1. Пересекающимися: если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.
2. Параллельными: если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
3. Совпадающими: если они имеют бесконечно много общих точек.
4. Скрещивающимися: если они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Поскольку прямые $a$ и $b$ находятся в разных, пересекающихся плоскостях, и при этом не имеют общих точек (то есть не пересекаются) и не являются параллельными, они не лежат в одной плоскости.
Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

6.8. Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые (рис. 6.7). Прямые $A_1 B_1$ и $A_2 B_2$ пересекают прямые $a$ и $b$. Могут ли прямые $A_1 B_1$ и $A_2 B_2$ быть пересекающимися или параллельными?

Рис. 6.7

Пересекающимися

Если прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются, то по определению они должны лежать в одной плоскости. В таком случае все четыре точки $A_1, B_1, A_2, B_2$ принадлежат этой общей плоскости. Поскольку точки $A_1$ и $A_2$ лежат на прямой $a$, а точки $B_1$ и $B_2$ лежат на прямой $b$, то из этого следует, что прямые $a$ и $b$ также должны целиком лежать в этой же плоскости. Однако, по условию задачи, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, что означает, что они не лежат в одной плоскости. Это приводит к противоречию. Следовательно, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть пересекающимися.

Ответ: Нет.

Параллельными

Если прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны, то по определению они также должны лежать в одной плоскости. Аналогично предыдущему рассуждению, если эти прямые лежат в одной плоскости, то все четыре точки $A_1, B_1, A_2, B_2$ должны принадлежать этой плоскости. Это влечет за собой, что прямая $a$ (проходящая через $A_1$ и $A_2$) и прямая $b$ (проходящая через $B_1$ и $B_2$) также должны лежать в этой плоскости. Но это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, то есть они не копланарны. Следовательно, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть параллельными.

Ответ: Нет.

6.9. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у четырехугольной пирамиды?

Дано:

Четырехугольная пирамида.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение:

Четырехугольная пирамида - это многогранник, основанием которого является четырехугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину (апекс).

Пусть вершины основания пирамиды будут $A_1, A_2, A_3, A_4$, а вершина пирамиды (апекс) - $S$.

Ребра пирамиды делятся на:

• Ребра основания: $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1$. (4 ребра)

• Боковые ребра: $SA_1, SA_2, SA_3, SA_4$. (4 ребра)

Общее количество ребер в четырехугольной пирамиде составляет $4 \text{ (ребра основания)} + 4 \text{ (боковые ребра)} = 8$ ребер.

Скрещивающиеся ребра - это пары ребер, которые не параллельны и не пересекаются, то есть не лежат в одной плоскости.

Общее количество возможных пар ребер, которые можно составить из 8 ребер, определяется по формуле для числа сочетаний:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ - общее количество ребер, $k$ - количество ребер в паре (в данном случае $k=2$).

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ пар.

Теперь определим пары ребер, которые не являются скрещивающимися, то есть пересекаются или параллельны.

Пары пересекающихся ребер (ребра, имеющие общую вершину):

• Пары смежных ребер основания (например, $A_1A_2$ и $A_2A_3$ имеют общую вершину $A_2$). Таких пар 4: $(A_1A_2, A_2A_3)$, $(A_2A_3, A_3A_4)$, $(A_3A_4, A_4A_1)$, $(A_4A_1, A_1A_2)$.

• Пары боковых ребер, которые все пересекаются в апексе $S$. Таких пар $C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$: $(SA_1, SA_2)$, $(SA_1, SA_3)$, $(SA_1, SA_4)$, $(SA_2, SA_3)$, $(SA_2, SA_4)$, $(SA_3, SA_4)$.

• Пары ребра основания и бокового ребра, имеющие общую вершину (вершину основания). Например, ребро основания $A_1A_2$ пересекается с боковыми ребрами $SA_1$ (в $A_1$) и $SA_2$ (в $A_2$). Таких пар $4 \times 2 = 8$: $(A_1A_2, SA_1)$, $(A_1A_2, SA_2)$, $(A_2A_3, SA_2)$, $(A_2A_3, SA_3)$, $(A_3A_4, SA_3)$, $(A_3A_4, SA_4)$, $(A_4A_1, SA_4)$, $(A_4A_1, SA_1)$.

Общее количество пересекающихся пар ребер: $4 + 6 + 8 = 18$ пар.

Пары параллельных ребер:

В общем случае (для произвольной четырехугольной пирамиды) параллельные ребра отсутствуют. Если основание является, например, параллелограммом, то противоположные ребра основания будут параллельны. Однако, поскольку тип четырехугольной пирамиды не уточнен, мы рассматриваем общий случай, где параллельных ребер нет.

Количество пар скрещивающихся ребер равно общему количеству возможных пар ребер минус количество пересекающихся пар и минус количество параллельных пар:

$28 \text{ (всего пар)} - 18 \text{ (пересекающиеся пары)} - 0 \text{ (параллельные пары)} = 10$ пар.

Перечислим эти 10 пар скрещивающихся ребер:

• Пары несмежных ребер основания (которые не имеют общих вершин и не параллельны в общем случае):

  • $(A_1A_2, A_3A_4)$

  • $(A_2A_3, A_4A_1)$

  (2 пары)

• Пары ребра основания и бокового ребра, которые не имеют общих вершин:

  • Для ребра основания $A_1A_2$: боковые ребра $SA_3$ и $SA_4$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_1A_2, SA_3)$, $(A_1A_2, SA_4)$.

  • Для ребра основания $A_2A_3$: боковые ребра $SA_4$ и $SA_1$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_2A_3, SA_4)$, $(A_2A_3, SA_1)$.

  • Для ребра основания $A_3A_4$: боковые ребра $SA_1$ и $SA_2$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_3A_4, SA_1)$, $(A_3A_4, SA_2)$.

  • Для ребра основания $A_4A_1$: боковые ребра $SA_2$ и $SA_3$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_4A_1, SA_2)$, $(A_4A_1, SA_3)$.

  (Всего $4 \times 2 = 8$ пар)

Суммируя эти категории, получаем общее количество скрещивающихся пар ребер: $2 + 8 = 10$ пар.

Ответ:

10 пар.

6.10. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у куба?

Дано:

Куб.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение:

Куб имеет 12 ребер. Для определения количества пар скрещивающихся ребер воспользуемся методом исключения. Сначала найдем общее количество возможных пар ребер, затем вычтем количество пар, которые не являются скрещивающимися (то есть являются либо параллельными, либо пересекающимися).

1. Общее количество пар ребер:

Количество пар ребер в кубе, имеющем 12 ребер, можно вычислить как число сочетаний из 12 по 2:

$C_{12}^2 = \frac{12 \times (12 - 1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 6 \times 11 = 66$.

Таким образом, всего существует 66 уникальных пар ребер.

2. Количество пар нескрещивающихся ребер:

Нескрещивающиеся ребра могут быть либо параллельными, либо пересекающимися.

a) Пары пересекающихся ребер:

Каждая вершина куба соединяет 3 ребра. Количество пар ребер, пересекающихся в одной вершине, равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3 \times (3 - 1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

У куба 8 вершин, поэтому общее количество пар пересекающихся ребер равно $8 \times 3 = 24$.

b) Пары параллельных ребер:

Ребра куба можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой (например, 4 ребра вдоль оси X, 4 вдоль оси Y, 4 вдоль оси Z). Количество пар ребер в одной группе из 4 параллельных ребер равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4 \times (4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Так как существует 3 такие группы, общее количество пар параллельных ребер равно $3 \times 6 = 18$.

Общее количество нескрещивающихся пар ребер (пересекающихся + параллельных) составляет $24 + 18 = 42$.

3. Количество пар скрещивающихся ребер:

Количество скрещивающихся пар ребер равно общему количеству пар ребер минус количество нескрещивающихся пар ребер:

Количество скрещивающихся пар = $66 - 42 = 24$.

Альтернативный способ подсчета:

Рассмотрим одно произвольное ребро куба. Например, ребро AB.

• С этим ребром пересекаются 4 других ребра (по 2 на каждой вершине, к которой примыкает AB: 2 у вершины A, 2 у вершины B).
• Параллельными к ребру AB являются 3 других ребра (например, CD, A'B', C'D').
• И одно само ребро AB.

Таким образом, для выбранного ребра из 12 ребер всего $1 + 4 + 3 = 8$ ребер не скрещиваются с выбранным ребром (само, пересекающиеся, параллельные).

Количество ребер, скрещивающихся с выбранным ребром: $12 - 8 = 4$.

Поскольку каждое из 12 ребер куба скрещивается с 4 другими ребрами, и каждая пара учитывается дважды (например, пара (ребро1, ребро2) и (ребро2, ребро1)), общее количество пар скрещивающихся ребер будет:

$\frac{12 \times 4}{2} = 24$.

Ответ: 24

6.11. Каково взаимное расположение прямых $EE_1$ и $FF_1$ (рис. 6.8)? Ответ объясните.

Рис. 6.8

Взаимное расположение

Прямые $EE_1$ и $FF_1$ являются параллельными и лежат в одной плоскости.

Ответ: Прямые $EE_1$ и $FF_1$ параллельны и компланарны.

Объяснение

Данная фигура является призмой $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основное свойство любой призмы заключается в том, что её боковые рёбра параллельны друг другу. Например, боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ параллельны между собой: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

Из рисунка 6.8 видно, что прямые $EE_1$ и $FF_1$ представляют собой отрезки, соединяющие точки на нижнем основании призмы ($E$ на $AB$, $F$ на $BC$) с соответствующими точками на верхнем основании ($E_1$ на $A_1B_1$, $F_1$ на $B_1C_1$). По построению и стандартному изображению таких линий в призме, подразумевается, что эти прямые параллельны боковым рёбрам призмы.

Следовательно, прямая $EE_1$ параллельна боковому ребру, например, $BB_1$. То есть, $EE_1 \parallel BB_1$.

Аналогично, прямая $FF_1$ также параллельна боковому ребру $BB_1$. То есть, $FF_1 \parallel BB_1$.

Согласно аксиоме планиметрии: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая $EE_1$, и прямая $FF_1$ параллельны одной и той же прямой $BB_1$, отсюда следует, что $EE_1 \parallel FF_1$.

Далее, из рисунка видно, что точки $E$ и $F$ являются различными точками, лежащими на разных смежных сторонах основания призмы ($AB$ и $BC$ соответственно). Это означает, что прямые $EE_1$ и $FF_1$ являются различными прямыми. Две различные прямые, которые параллельны, всегда лежат в одной плоскости. Эти четыре точки $E, F, F_1, E_1$ образуют четырёхугольник $EFF_1E_1$. Поскольку $EE_1 \parallel FF_1$ и длины этих отрезков равны (так как они соединяют соответствующие точки на параллельных плоскостях оснований), четырёхугольник $EFF_1E_1$ является параллелограммом. А параллелограмм, по определению, является плоской фигурой, следовательно, прямые $EE_1$ и $FF_1$ лежат в одной плоскости.

Ответ: Прямые $EE_1$ и $FF_1$ параллельны и лежат в одной плоскости.