Номер 6.9, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.9. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у четырехугольной пирамиды?

Дано:

Четырехугольная пирамида.

Найти:

Количество пар скрещивающихся ребер.

Решение:

Четырехугольная пирамида - это многогранник, основанием которого является четырехугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину (апекс).

Пусть вершины основания пирамиды будут $A_1, A_2, A_3, A_4$, а вершина пирамиды (апекс) - $S$.

Ребра пирамиды делятся на:

• Ребра основания: $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1$. (4 ребра)

• Боковые ребра: $SA_1, SA_2, SA_3, SA_4$. (4 ребра)

Общее количество ребер в четырехугольной пирамиде составляет $4 \text{ (ребра основания)} + 4 \text{ (боковые ребра)} = 8$ ребер.

Скрещивающиеся ребра - это пары ребер, которые не параллельны и не пересекаются, то есть не лежат в одной плоскости.

Общее количество возможных пар ребер, которые можно составить из 8 ребер, определяется по формуле для числа сочетаний:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ - общее количество ребер, $k$ - количество ребер в паре (в данном случае $k=2$).

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ пар.

Теперь определим пары ребер, которые не являются скрещивающимися, то есть пересекаются или параллельны.

Пары пересекающихся ребер (ребра, имеющие общую вершину):

• Пары смежных ребер основания (например, $A_1A_2$ и $A_2A_3$ имеют общую вершину $A_2$). Таких пар 4: $(A_1A_2, A_2A_3)$, $(A_2A_3, A_3A_4)$, $(A_3A_4, A_4A_1)$, $(A_4A_1, A_1A_2)$.

• Пары боковых ребер, которые все пересекаются в апексе $S$. Таких пар $C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$: $(SA_1, SA_2)$, $(SA_1, SA_3)$, $(SA_1, SA_4)$, $(SA_2, SA_3)$, $(SA_2, SA_4)$, $(SA_3, SA_4)$.

• Пары ребра основания и бокового ребра, имеющие общую вершину (вершину основания). Например, ребро основания $A_1A_2$ пересекается с боковыми ребрами $SA_1$ (в $A_1$) и $SA_2$ (в $A_2$). Таких пар $4 \times 2 = 8$: $(A_1A_2, SA_1)$, $(A_1A_2, SA_2)$, $(A_2A_3, SA_2)$, $(A_2A_3, SA_3)$, $(A_3A_4, SA_3)$, $(A_3A_4, SA_4)$, $(A_4A_1, SA_4)$, $(A_4A_1, SA_1)$.

Общее количество пересекающихся пар ребер: $4 + 6 + 8 = 18$ пар.

Пары параллельных ребер:

В общем случае (для произвольной четырехугольной пирамиды) параллельные ребра отсутствуют. Если основание является, например, параллелограммом, то противоположные ребра основания будут параллельны. Однако, поскольку тип четырехугольной пирамиды не уточнен, мы рассматриваем общий случай, где параллельных ребер нет.

Количество пар скрещивающихся ребер равно общему количеству возможных пар ребер минус количество пересекающихся пар и минус количество параллельных пар:

$28 \text{ (всего пар)} - 18 \text{ (пересекающиеся пары)} - 0 \text{ (параллельные пары)} = 10$ пар.

Перечислим эти 10 пар скрещивающихся ребер:

• Пары несмежных ребер основания (которые не имеют общих вершин и не параллельны в общем случае):

  • $(A_1A_2, A_3A_4)$

  • $(A_2A_3, A_4A_1)$

  (2 пары)

• Пары ребра основания и бокового ребра, которые не имеют общих вершин:

  • Для ребра основания $A_1A_2$: боковые ребра $SA_3$ и $SA_4$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_1A_2, SA_3)$, $(A_1A_2, SA_4)$.

  • Для ребра основания $A_2A_3$: боковые ребра $SA_4$ и $SA_1$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_2A_3, SA_4)$, $(A_2A_3, SA_1)$.

  • Для ребра основания $A_3A_4$: боковые ребра $SA_1$ и $SA_2$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_3A_4, SA_1)$, $(A_3A_4, SA_2)$.

  • Для ребра основания $A_4A_1$: боковые ребра $SA_2$ и $SA_3$ не имеют с ним общих вершин. Пары: $(A_4A_1, SA_2)$, $(A_4A_1, SA_3)$.

  (Всего $4 \times 2 = 8$ пар)

Суммируя эти категории, получаем общее количество скрещивающихся пар ребер: $2 + 8 = 10$ пар.

Ответ:

10 пар.