Номер 6.11, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.11. Каково взаимное расположение прямых $EE_1$ и $FF_1$ (рис. 6.8)? Ответ объясните.

Рис. 6.8

Взаимное расположение

Прямые $EE_1$ и $FF_1$ являются параллельными и лежат в одной плоскости.

Ответ: Прямые $EE_1$ и $FF_1$ параллельны и компланарны.

Объяснение

Данная фигура является призмой $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основное свойство любой призмы заключается в том, что её боковые рёбра параллельны друг другу. Например, боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ параллельны между собой: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

Из рисунка 6.8 видно, что прямые $EE_1$ и $FF_1$ представляют собой отрезки, соединяющие точки на нижнем основании призмы ($E$ на $AB$, $F$ на $BC$) с соответствующими точками на верхнем основании ($E_1$ на $A_1B_1$, $F_1$ на $B_1C_1$). По построению и стандартному изображению таких линий в призме, подразумевается, что эти прямые параллельны боковым рёбрам призмы.

Следовательно, прямая $EE_1$ параллельна боковому ребру, например, $BB_1$. То есть, $EE_1 \parallel BB_1$.

Аналогично, прямая $FF_1$ также параллельна боковому ребру $BB_1$. То есть, $FF_1 \parallel BB_1$.

Согласно аксиоме планиметрии: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая $EE_1$, и прямая $FF_1$ параллельны одной и той же прямой $BB_1$, отсюда следует, что $EE_1 \parallel FF_1$.

Далее, из рисунка видно, что точки $E$ и $F$ являются различными точками, лежащими на разных смежных сторонах основания призмы ($AB$ и $BC$ соответственно). Это означает, что прямые $EE_1$ и $FF_1$ являются различными прямыми. Две различные прямые, которые параллельны, всегда лежат в одной плоскости. Эти четыре точки $E, F, F_1, E_1$ образуют четырёхугольник $EFF_1E_1$. Поскольку $EE_1 \parallel FF_1$ и длины этих отрезков равны (так как они соединяют соответствующие точки на параллельных плоскостях оснований), четырёхугольник $EFF_1E_1$ является параллелограммом. А параллелограмм, по определению, является плоской фигурой, следовательно, прямые $EE_1$ и $FF_1$ лежат в одной плоскости.

Ответ: Прямые $EE_1$ и $FF_1$ параллельны и лежат в одной плоскости.