Страница 51 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно провести через точку, не принадлежащую этой плоскости?

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Согласно аксиомам и теоремам стереометрии, через точку $A$, не лежащую в данной плоскости $\alpha$, можно провести ровно одну плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$.

Любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$ и проходящая через точку $A$, будет параллельна плоскости $\alpha$. Это следует из определения параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек или лежит в этой плоскости. Поскольку плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, они не пересекаются. Следовательно, любая прямая, лежащая целиком в плоскости $\beta$, также не будет пересекать плоскость $\alpha$.

Через заданную точку $A$ в плоскости $\beta$ можно провести бесконечное множество прямых. Каждая из этих прямых будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных этой плоскости.

Ответ: Бесконечное множество.

Вопросы

1. Как может располагаться прямая относительно плоскости?

2. Какая прямая называется параллельной плоскости?

3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

1. Как может располагаться прямая относительно плоскости?

Прямая относительно плоскости может располагаться тремя способами:

1. Прямая пересекает плоскость. В этом случае прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку. Например, если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей.

2. Прямая лежит в плоскости. В этом случае все точки прямой принадлежат плоскости. Прямая имеет бесконечно много общих точек с плоскостью.

3. Прямая параллельна плоскости. В этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть они не пересекаются.

Ответ:

Прямая может пересекать плоскость, лежать в плоскости или быть параллельной плоскости.

2. Какая прямая называется параллельной плоскости?

Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек, то есть не пересекает ее. Символически, если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, это обозначается как $a \parallel \alpha$.

Ответ:

Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек.

3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости формулируется следующим образом:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Пусть прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$). Если существует прямая $b$ такая, что $b \subset \alpha$ и $a \parallel b$, то из этого следует, что $a \parallel \alpha$.

Ответ:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

7.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребра, параллельные грани $ABCD$ (рис. 7.4).

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Грань $ABCD$.

Найти:

Ребра куба, параллельные грани $ABCD$.

Решение:

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $ABCD$ является нижней гранью. Грань, параллельная грани $ABCD$, это верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$. По определению, прямая (в данном случае, ребро) параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек. Все ребра, лежащие в плоскости, которая параллельна данной плоскости, также параллельны данной плоскости. Таким образом, все ребра, принадлежащие верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, будут параллельны нижней грани $ABCD$. Этими ребрами являются: $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$. Ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ перпендикулярны грани $ABCD$ и пересекают ее в точках $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно, поэтому они не параллельны грани $ABCD$. Ребра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ лежат в самой грани $ABCD$, поэтому они не считаются параллельными ей, так как имеют с ней бесконечное множество общих точек (лежат в ней).

Ответ:

$A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$.

7.2. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, укажите грани, параллельные ребру:

а) $AB$;

б) $AA_1$ (рис. 7.5).

Рис. 7.5

а) AB

Грань параллельна ребру, если ребро не пересекает эту грань и параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой грани.

1. Ребро $AB$ параллельно ребру $A_1B_1$. Ребро $A_1B_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Ребро $AB$ не имеет общих точек с гранью $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Следовательно, грань $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельна ребру $AB$.

2. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, ребро $AB$ параллельно ребру $DE$. Ребро $DE$ лежит в боковой грани $DEE_1D_1$. Ребро $AB$ не имеет общих точек с гранью $DEE_1D_1$. Следовательно, грань $DEE_1D_1$ параллельна ребру $AB$.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и $DEE_1D_1$.

б) AA₁

Грань параллельна ребру, если ребро не пересекает эту грань и параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой грани.

Ребро $AA_1$ является боковым ребром призмы. Все боковые ребра правильной призмы параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \parallel EE_1 \parallel FF_1$.

1. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$. Ребро $BB_1$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$. Ребро $AA_1$ не имеет общих точек с гранью $BCC_1B_1$. Следовательно, грань $BCC_1B_1$ параллельна ребру $AA_1$.

2. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$. Ребро $CC_1$ лежит в боковой грани $CDD_1C_1$. Ребро $AA_1$ не имеет общих точек с гранью $CDD_1C_1$. Следовательно, грань $CDD_1C_1$ параллельна ребру $AA_1$.

3. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $DD_1$. Ребро $DD_1$ лежит в боковой грани $DEE_1D_1$. Ребро $AA_1$ не имеет общих точек с гранью $DEE_1D_1$. Следовательно, грань $DEE_1D_1$ параллельна ребру $AA_1$.

4. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $EE_1$. Ребро $EE_1$ лежит в боковой грани $EFF_1E_1$. Ребро $AA_1$ не имеет общих точек с гранью $EFF_1E_1$. Следовательно, грань $EFF_1E_1$ параллельна ребру $AA_1$.

(Боковые грани $ABB_1A_1$ и $FAA_1F_1$ содержат ребро $AA_1$, поэтому не являются параллельными ему. Основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ перпендикулярны боковым ребрам, включая $AA_1$, поэтому также не являются параллельными ему.)

Ответ: $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DEE_1D_1$, $EFF_1E_1$.