Номер 5.10, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10. Имеются ли параллельные ребра у правильной:

а) треугольной пирамиды (рис. 5.8, а);

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.8, б)?

Рис. 5.8

а) треугольной пирамиды (рис. 5.8, а)

Решение: Правильная треугольная пирамида, также известная как правильный тетраэдр, имеет в основании правильный треугольник и три боковые грани, которые также являются правильными треугольниками. Все ребра такой пирамиды равны по длине.
Рассмотрим ребра:
1. Ребра основания ($AB$, $BC$, $CA$): Эти три ребра образуют правильный треугольник. В правильном треугольнике нет параллельных сторон, так как углы между ними не равны $0^{\circ}$ или $180^{\circ}$.
2. Боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$): Все боковые ребра сходятся в одной вершине $S$ (апексе пирамиды). По определению, прямые, исходящие из одной точки и не лежащие на одной прямой, не могут быть параллельными. Следовательно, боковые ребра не параллельны друг другу.
3. Ребра основания и боковые ребра: Любое ребро основания (например, $AB$) либо пересекается с боковыми ребрами в вершинах основания ($A$ и $B$), либо является скрещивающимся с остальными боковыми ребрами (например, $AB$ и $SC$). Скрещивающиеся прямые по определению не параллельны и не пересекаются.
Таким образом, у правильной треугольной пирамиды отсутствуют параллельные ребра.

Ответ: Нет.

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.8, б)

Решение: Правильная пятиугольная пирамида имеет в основании правильный пятиугольник ($ABCDE$) и пять боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками, сходящимися в вершине $S$.
Рассмотрим ребра:
1. Ребра основания ($AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$): Эти пять ребер образуют правильный пятиугольник. У правильного пятиугольника нет параллельных сторон. Параллельные стороны могут быть только у правильных многоугольников с четным числом сторон (например, у квадрата или правильного шестиугольника).
2. Боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$): Все боковые ребра сходятся в одной вершине $S$. Как и в случае с треугольной пирамидой, прямые, исходящие из одной точки, не могут быть параллельными друг другу.
3. Ребра основания и боковые ребра: Ребра основания лежат в плоскости основания, а боковые ребра соединяют вершины основания с вершиной $S$, которая не лежит в плоскости основания. Ни одно ребро основания не может быть параллельно боковому ребру, поскольку они либо пересекаются в вершине, либо являются скрещивающимися прямыми.
Следовательно, у правильной пятиугольной пирамиды нет параллельных ребер.

Ответ: Нет.