Номер 5.15, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.15. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.4) параллельны прямые:
а) $AC$ и $A_1C_1$;
б) $AB_1$ и $DC_1$.

Рис. 5.4

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что:

а) прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны;

б) прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны.

Решение:

а) AC и A₁C₁

Рассмотрим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов, составляющих стороны основания: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Аналогично, вектор $\vec{A_1C_1}$ можно представить как сумму векторов сторон верхнего основания: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1}$.

По определению параллелепипеда, его противоположные грани параллельны и равны. Следовательно, основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны и параллельны.

Из равенства оснований следует, что соответствующие стороны равны и параллельны: $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$ и $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$.

Подставим эти равенства в выражения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC}$ (поскольку $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$)

Таким образом, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ равны, то отрезки $AC$ и $A_1C_1$ параллельны и равны по длине.

Ответ: Прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны.

б) AB₁ и DC₁

Рассмотрим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{DC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$.

В параллелепипеде:

1. Противоположные стороны основания параллельны и равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

2. Боковые ребра параллельны и равны: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Подставим эти равенства в выражение для вектора $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Теперь подставим $\vec{DC}$ вместо $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ вместо $\vec{BB_1}$:

$\vec{AB_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Мы видим, что полученное выражение равно вектору $\vec{DC_1}$:

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Поскольку векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ равны, то отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны и равны по длине.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны.