Номер 5.14, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.14. Сколько пар параллельных ребер имеется у правильной шестиугольной призмы?

Дано:

Геометрическая фигура — правильная шестиугольная призма.

Найти:

Количество пар параллельных ребер.

Решение:

Правильная шестиугольная призма имеет двенадцатиугольное основание (шестиугольник) и шесть боковых граней. Общее количество ребер у шестиугольной призмы: $3 \times 6 = 18$ ребер. Эти ребра можно классифицировать по типу и ориентации:

1. Боковые ребра: 6 ребер, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований.

2. Ребра оснований: 6 ребер на верхнем основании и 6 ребер на нижнем основании, всего 12 ребер.

Рассмотрим количество пар параллельных ребер, разбивая их на группы.

Пары боковых ребер:

Все 6 боковых ребер правильной призмы параллельны друг другу. Чтобы найти количество пар из $n$ параллельных ребер, используем формулу для числа сочетаний: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Для 6 боковых ребер количество пар равно: $C_6^2 = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Пары ребер оснований (включая между основаниями):

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. У шестиугольника есть 3 направления (или набора) параллельных сторон. Каждое такое направление включает 2 ребра на одном основании (противоположные) и 2 ребра на другом основании (также противоположные и параллельные соответствующим на первом основании).

Рассмотрим одну такую группу направлений. Например, если вершины верхнего основания обозначены $A_1, \dots, A_6$, а нижнего $B_1, \dots, B_6$, то ребра $A_1A_2$, $A_4A_5$, $B_1B_2$, $B_4B_5$ составляют одну группу из 4 параллельных ребер.

Количество пар параллельных ребер в одной такой группе из 4 ребер: $C_4^2 = \frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Поскольку существует 3 таких группы направлений для ребер оснований, общее количество пар параллельных ребер оснований составляет $3 \times 6 = 18$.

Общее количество пар параллельных ребер:

Общее количество пар параллельных ребер равно сумме пар боковых ребер и пар ребер оснований, так как боковые ребра не параллельны ребрам оснований.

Общее количество = (пары боковых ребер) + (пары ребер оснований) $= 15 + 18 = 33$.

Ответ: 33.