Задания, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать это самостоятельно.

Докажите, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются.

Докажите, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются.

Решение

В трехмерном пространстве существуют четыре основных случая взаимного расположения двух различных прямых $l_1$ и $l_2$:

1.Прямые пересекаются. Если две прямые $l_1$ и $l_2$ имеют одну общую точку (пересекаются), то согласно аксиомам стереометрии, через две пересекающиеся прямые всегда можно провести единственную плоскость.

2.Прямые параллельны. Если две прямые $l_1$ и $l_2$ не имеют общих точек и лежат в одной плоскости (параллельны), то через них также можно провести единственную плоскость. Это является одним из способов определения плоскости в пространстве.

3.Прямые совпадают. Если прямые $l_1$ и $l_2$ совпадают (то есть являются одной и той же прямой), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. Любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать обе "прямые".

Во всех этих трех случаях – пересекающихся, параллельных или совпадающих прямых – через данные прямые можно провести плоскость. Такие прямые называются компланарными.

4.Прямые скрещиваются. По определению, две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что они не пересекаются и не параллельны.

Условие задачи гласит, что "через две прямые нельзя провести плоскость". Это утверждение означает, что данные прямые не являются компланарными. Из рассмотренных выше возможных взаимных расположений прямых в пространстве, единственным случаем, когда через две прямые нельзя провести плоскость, является случай скрещивающихся прямых. Если бы они пересекались, были параллельны или совпадали, то плоскость через них всегда можно было бы провести.

Следовательно, если через две прямые нельзя провести плоскость, это по определению означает, что они являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что если через две прямые нельзя провести плоскость, то эти прямые скрещиваются, поскольку по определению скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости. Все остальные возможные расположения прямых (пересекающиеся, параллельные, совпадающие) предполагают, что прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, через них можно провести плоскость.