Страница 6 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна $150^\circ$. Найдите эти углы.

Дано:

Параллельные прямые и секущая.

Сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна $150^\circ$.

Найти:

Величины этих углов.

Решение:

Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны между собой.

Пусть искомые углы будут $\alpha$ и $\beta$.

Из условия задачи дано, что их сумма равна $150^\circ$:

$\alpha + \beta = 150^\circ$

По свойству параллельных прямых и секущей, внутренние накрест лежащие углы равны, то есть:

$\alpha = \beta$

Подставим $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + \alpha = 150^\circ$

$2\alpha = 150^\circ$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти значение $\alpha$:

$\alpha = \frac{150^\circ}{2}$

$\alpha = 75^\circ$

Так как $\alpha = \beta$, то:

$\beta = 75^\circ$

Ответ:

Каждый из углов равен $75^\circ$.

12. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Решение

Доказательство проведем методом от противного.
Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Это означает, что $a \parallel b$.
Пусть некоторая прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$.
Предположим, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$.
Если прямая $c$ не пересекает прямую $b$, то, поскольку они лежат в одной плоскости (две параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$ лежат в одной плоскости), по определению параллельных прямых, прямая $c$ параллельна прямой $b$. То есть $c \parallel b$.
Таким образом, мы получили два утверждения:
1. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$) – это дано по условию.
2. Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) – это наше предположение.
Из этих двух утверждений, согласно аксиоме или теореме о параллельных прямых (которая гласит: «Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой»), следует, что прямые $a$ и $c$ должны быть параллельны друг другу. Следовательно, $a \parallel c$.
Однако, по условию задачи, прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$. Прямые, которые пересекаются, по определению не могут быть параллельными (так как параллельные прямые не имеют общих точек).
Мы пришли к противоречию: с одной стороны, $a \parallel c$, с другой стороны, прямые $a$ и $c$ пересекаются.
Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$, является ложным.
Следовательно, прямая $c$ обязательно должна пересекать прямую $b$.

Ответ: Доказано.