Номер 5.2, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.2. Известно, что на плоскости через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Утверждение, что на плоскости через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную, является одним из эквивалентных утверждений аксиомы параллельности Евклида (пятого постулата Евклида) и действительно верно для евклидовой плоскости.

Рассмотрим, будет ли это утверждение верно для пространства (трехмерного евклидова пространства).

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, которая не лежит на этой прямой.

Во-первых, через точку $P$ и прямую $l$ можно провести единственную плоскость. В этой плоскости, согласно аксиоме параллельности, через точку $P$ проходит единственная прямая $m$, которая параллельна прямой $l$. Эта прямая $m$ по определению не пересекает прямую $l$.

Во-вторых, в пространстве, в отличие от плоскости, существуют не только параллельные и пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. То есть они не пересекаются.

Через заданную точку $P$ можно провести бесконечно много прямых, которые не будут пересекать прямую $l$, но при этом не будут ей параллельны. Эти прямые будут скрещивающимися с прямой $l$.

Для наглядности приведем пример. Пусть прямая $l$ совпадает с осью $Ox$ в декартовой системе координат. Таким образом, $l = \{(x,0,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(0,1,1)$.

Прямая $m$, которая параллельна прямой $l$ и проходит через точку $P$, будет иметь уравнения $y=1, z=1$. Это единственная прямая, параллельная $l$ и проходящая через $P$.

Теперь рассмотрим другие прямые, проходящие через $P$ и не пересекающие $l$. Возьмем, например, точку $A=(0,0,2)$ на оси $Oz$. Прямая, проходящая через точки $P(0,1,1)$ и $A(0,0,2)$, может быть задана параметрически как $X = P + t\vec{PA} = (0,1,1) + t(0-0, 0-1, 2-1) = (0,1,1) + t(0,-1,1) = (0, 1-t, 1+t)$. Чтобы эта прямая пересекала ось $Ox$, ее $y$-координата и $z$-координата должны быть одновременно равны нулю. То есть $1-t=0$ и $1+t=0$. Из первого уравнения следует $t=1$, а из второго $t=-1$. Поскольку $1 \neq -1$, возникает противоречие, что означает отсутствие общих точек у этой прямой с осью $Ox$. При этом направляющий вектор этой прямой $(0,-1,1)$ не коллинеарен направляющему вектору оси $Ox$ $(1,0,0)$, следовательно, прямая не параллельна оси $Ox$. Таким образом, прямая, проходящая через $P(0,1,1)$ и $A(0,0,2)$, является скрещивающейся с осью $Ox$. Подобных прямых, проходящих через $P$ и скрещивающихся с $l$, существует бесконечно много, так как мы можем выбирать различные точки $A$ (например, на оси $Oz$, отличные от $(0,0,1)$ и $(0,0,0)$).

Следовательно, утверждение о том, что через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную, неверно для пространства, поскольку, помимо единственной параллельной прямой, через такую точку можно провести бесконечно много прямых, скрещивающихся с данной прямой.

Ответ: Нет, это утверждение не будет верно для пространства.