Номер 8.5, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Докажите, что у параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны плоскости:
а) $ABB_1$ и $CDD_1$;
б) $AB_1D_1$ и $BDC_1$.

а) ABB₁ и CDD₁

Решение:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABB_1$ содержит грань $ABB_1A_1$. Плоскость $CDD_1$ содержит грань $CDD_1C_1$. По определению параллелепипеда, его противоположные грани являются параллельными плоскостями. Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ – это противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, плоскость $ABB_1A_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$. Таким образом, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $CDD_1$.

Ответ: Плоскости $ABB_1$ и $CDD_1$ параллельны.

б) AB₁D₁ и BDC₁

Решение:

Для доказательства параллельности двух плоскостей $AB_1D_1$ и $BDC_1$, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

1. Рассмотрим прямые $B_1D_1$ (лежащую в плоскости $AB_1D_1$) и $BD$ (лежащую в плоскости $BDC_1$). В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые рёбра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине ($BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$). Из этого следует, что четырехугольник $BB_1D_1D$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $B_1D_1 \parallel BD$.

2. Рассмотрим прямые $AD_1$ (лежащую в плоскости $AB_1D_1$) и $BC_1$ (лежащую в плоскости $BDC_1$). Пусть $\vec{AD}$ - вектор, соответствующий ребру $AD$, и $\vec{AA_1}$ - вектор, соответствующий ребру $AA_1$. Вектор $\vec{AD_1}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{AD} + \vec{DD_1}$. Поскольку $DD_1$ является ребром параллелепипеда, параллельным и равным $AA_1$, то $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Вектор $\vec{BC_1}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{BC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $ABCD$ является параллелограммом (основание параллелепипеда), то $\vec{BC} = \vec{AD}$. Поскольку $CC_1$ является ребром параллелепипеда, параллельным и равным $AA_1$, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Поскольку $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$, то $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$. Это означает, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны ($AD_1 \parallel BC_1$).

Прямые $B_1D_1$ и $AD_1$ пересекаются в точке $D_1$ и лежат в плоскости $AB_1D_1$. Прямые $BD$ и $BC_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $BDC_1$. Мы показали, что $B_1D_1 \parallel BD$ и $AD_1 \parallel BC_1$. По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Таким образом, плоскость $AB_1D_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.

Ответ: Плоскости $AB_1D_1$ и $BDC_1$ параллельны.