Номер 8.12, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 8.8

8.12. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью (рис. 8.8), то их линии пересечения параллельны.

Дано:

Пусть даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Третья плоскость $ \gamma $ пересекает плоскость $ \alpha $ по прямой $ a $ и плоскость $ \beta $ по прямой $ b $.

Найти:

Доказать, что прямые $ a $ и $ b $ параллельны.

Решение:

1. Рассмотрим прямые $ a $ и $ b $. По определению линии пересечения двух плоскостей, прямая $ a $ является общей для плоскостей $ \alpha $ и $ \gamma $, следовательно, $ a \subset \alpha $ и $ a \subset \gamma $. Аналогично, прямая $ b $ является общей для плоскостей $ \beta $ и $ \gamma $, следовательно, $ b \subset \beta $ и $ b \subset \gamma $.

2. Из того, что $ a \subset \gamma $ и $ b \subset \gamma $, следует, что обе прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $.

3. По условию задачи, плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Это означает, что они не имеют общих точек в пространстве.

4. Теперь предположим от противного, что прямые $ a $ и $ b $ не параллельны. Поскольку они лежат в одной плоскости $ \gamma $, это означает, что они пересекаются в некоторой точке, обозначим её $ K $.

5. Если точка $ K $ является точкой пересечения прямых $ a $ и $ b $, то $ K \in a $ и $ K \in b $. Поскольку $ a \subset \alpha $, то $ K \in \alpha $. Поскольку $ b \subset \beta $, то $ K \in \beta $.

6. Таким образом, точка $ K $ является общей точкой для плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $.

7. Однако это противоречит исходному условию, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, а значит, не имеют общих точек.

8. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $ a $ и $ b $ пересекаются, неверно.

9. Поскольку прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $ и при этом не пересекаются, по определению параллельных прямых они должны быть параллельны.

Ответ:

Прямые $ a $ и $ b $ параллельны.