Номер 8.15, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.15. Попробуйте определить понятие угла в пространстве.

В пространстве понятие угла расширяется по сравнению с плоским случаем, поскольку объекты могут располагаться по-разному относительно друг друга. Различают несколько основных видов углов в пространстве.

Угол между двумя пересекающимися прямыми

Решение: если две прямые пересекаются в пространстве, они лежат в одной плоскости. Угол между ними определяется так же, как и на плоскости: это наименьший из углов, образованных этими прямыми при их пересечении. Если прямые перпендикулярны, угол равен $90^\circ$.

Ответ: угол $\alpha$ между двумя пересекающимися прямыми является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ (или $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Решение: скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы определить угол между ними, необходимо провести через любую точку пространства прямую, параллельную одной из данных прямых, так чтобы она пересекала другую данную прямую. Угол между исходной прямой и проведенной параллельной прямой (которая теперь пересекает другую исходную прямую) и будет углом между скрещивающимися прямыми. Этот угол не зависит от выбора точки.

Ответ: угол $\alpha$ между двумя скрещивающимися прямыми является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ (или $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между прямой и плоскостью

Решение: угол между прямой и плоскостью определяется как угол между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекция прямой на плоскость – это прямая, которая является множеством оснований перпендикуляров, опущенных из каждой точки данной прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекция на плоскость является точкой, и угол между прямой и плоскостью считается $90^\circ$. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен $0^\circ$.

Ответ: угол $\theta$ между прямой и плоскостью является неотрицательным и не превосходит прямого угла, т.е. $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ (или $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол)

Решение: если две плоскости пересекаются, они образуют линию пересечения. Двугранный угол – это угол между двумя плоскостями. Чтобы его измерить, выберем любую точку на линии их пересечения. Из этой точки в каждой плоскости проведем луч, перпендикулярный линии пересечения. Угол между этими двумя лучами (лежащими в плоскостях и перпендикулярными линии пересечения) и есть линейный угол двугранного угла. Он является мерой двугранного угла. Если плоскости параллельны, двугранный угол равен $0^\circ$.

Ответ: угол $\phi$ между двумя плоскостями является неотрицательным и не превосходит $180^\circ$, т.е. $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$ (или $0 \le \phi \le \pi$ радиан). Часто в задачах рассматривается наименьший из двух смежных двугранных углов, т.е. от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Телесный угол

Решение: телесный угол – это мера "раскрытия" конической поверхности или части пространства, ограниченной такой поверхностью. Он определяется как отношение площади $A$ части сферической поверхности, вырезанной этим углом, к квадрату радиуса $r$ сферы, центр которой совпадает с вершиной телесного угла. Формула для телесного угла $\Omega$: $\Omega = \frac{A}{r^2}$. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан (ср). Полный телесный угол вокруг точки составляет $4\pi$ стерадиан.

Ответ: телесный угол $\Omega$ измеряет "объемность" угла в трехмерном пространстве и выражается в стерадианах.