Номер 8.10, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.10. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Линию пересечения плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Пусть $L$ – искомая линия пересечения.

1.Первая общая точка:

Плоскость $ABC_1$ задана точками $A$, $B$, $C_1$. Плоскость $BCD_1$ задана точками $B$, $C$, $D_1$. Очевидно, что точка $B$ принадлежит обеим плоскостям. Таким образом, $B \in L$.

2.Вторая общая точка:

Рассмотрим две параллельные плоскости: плоскость нижнего основания призмы ($ABCDEF$) и плоскость верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$).

Плоскость $ABC_1$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $AB$. Поскольку плоскости оснований параллельны, линия пересечения плоскости $ABC_1$ с плоскостью верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) должна быть параллельна прямой $AB$ и проходить через точку $C_1$ (так как $C_1$ лежит в плоскости $ABC_1$ и в плоскости верхнего основания). Назовем эту линию $l_1$.

Плоскость $BCD_1$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $BC$. Аналогично, линия пересечения плоскости $BCD_1$ с плоскостью верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) должна быть параллельна прямой $BC$ и проходить через точку $D_1$ (так как $D_1$ лежит в плоскости $BCD_1$ и в плоскости верхнего основания). Назовем эту линию $l_2$.

Искомая вторая общая точка двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ будет точкой пересечения линий $l_1$ и $l_2$ в плоскости верхнего основания.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а высота призмы $h$. Разместим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты соответствующих точек:

• $A=(a,0,0)$
• $B=(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C=(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие точки верхнего основания имеют z-координату $h$:

• $C_1=(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
• $D_1=(-a,0,h)$

Вектор, задающий направление линии $AB$: $\vec{v}_{AB} = B - A = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Линия $l_1$ проходит через $C_1$ и параллельна $\vec{v}_{AB}$. Параметрическое уравнение $l_1$: $P_1(t) = C_1 + t \cdot \vec{v}_{AB} = (-\frac{a}{2} - t\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} + t\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Вектор, задающий направление линии $BC$: $\vec{v}_{BC} = C - B = (-a, 0, 0)$.

Линия $l_2$ проходит через $D_1$ и параллельна $\vec{v}_{BC}$. Параметрическое уравнение $l_2$: $P_2(u) = D_1 + u \cdot \vec{v}_{BC} = (-a - ua, 0, h)$.

Для нахождения точки пересечения приравняем соответствующие компоненты $x$ и $y$ (z-координата уже равна $h$):

$-\frac{a}{2} - t\frac{a}{2} = -a - ua \quad (*)$

$\frac{a\sqrt{3}}{2} + t\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0 \quad (**)$

Из уравнения $(**)$: $\frac{a\sqrt{3}}{2}(1+t) = 0$. Поскольку $a \neq 0$, то $1+t = 0 \Rightarrow t = -1$.

Подставим $t=-1$ в уравнение $(*)$:$-\frac{a}{2} - (-1)\frac{a}{2} = -a - ua$$0 = -a - ua$$0 = a(-1-u)$$-1-u = 0 \Rightarrow u = -1$.

Теперь подставим $t=-1$ (или $u=-1$) обратно в параметрические уравнения для нахождения координат точки пересечения.Используя $P_1(t)$ с $t=-1$:$x = -\frac{a}{2} - (-1)\frac{a}{2} = 0$$y = \frac{a\sqrt{3}}{2} + (-1)\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0$$z = h$

Таким образом, точка пересечения линий $l_1$ и $l_2$ – это точка с координатами $(0,0,h)$. Эта точка является центром верхнего основания призмы. Обозначим ее $O_1$.

Следовательно, вторая общая точка плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ – это центр верхнего основания $O_1$.

Линия пересечения двух плоскостей проходит через две найденные общие точки: $B$ и $O_1$.

Ответ: Прямая $BO_1$.