Проверь себя!, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью данных прямых. Определите взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$:

A. $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

B. $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

C. $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

D. Нельзя определить.

2. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости:

А. Одну. В. Две. С. Три. D. Шесть?

3. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из четырех параллельных прямых, никакие три из которых не лежат в одной плоскости:

А. Две. В. Три. С. Четыре. D. Шесть?

4. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых:

А. Параллельна им.

В. Пересекает их.

С. Совпадает с одной из них.

D. Скрещивается с одной из них?

5. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, принадлежащая прямой $a$. Как расположена плоскость, проходящая через точку $A$ и прямую $b$ по отношению к проходящей через точку $A$ и прямую $b$ плоскости:

A. Прямая $a$ пересекает плоскость.

B. Прямая $a$ параллельна плоскости.

C. Прямая $a$ лежит в плоскости.

D. Нельзя определить?

6. Даны скрещивающиеся прямые $c$ и $d$ и точка $K$. Как относительно друг друга расположены плоскости, проходящие через точку $K$ и прямую $c$ и точку $K$ и прямую $d$:

A. Совпадают. В. Пересекаются.

C. Параллельны. D. Нельзя определить?

7. Плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Как расположены относительно друг друга плоскости $\alpha$ и $\beta$:

A. Параллельны. В. Совпадают.

C. Пересекаются. D. Нельзя определить?

8. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, параллельное ребру $AB$:

А. $CC_1$. В. $DD_1$. С. $B_1C_1$. D. $C_1D_1$.

9. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, параллельное ребру $B_1C_1$:

А. $AA_1$. В. $EF$. С. $C_1D_1$. D. $DE$.

10. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите прямую, параллельную линии пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$:

А. $BC$. В. $CF$. С. $AD$. D. $BE$.

11. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AA_1$:

А. $BC$. В. $BB_1$. С. $AB$. D. $A_1D_1$.

12. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AB$:

А. $CD$. В. $EF$. С. $DD_1$. D. $D_1E_1$.

13. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $SA$:

А. $AB$. В. $SC$. С. $SD$. D. $BC$.

14. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $BC$:

А. $DE$. В. $SB$. С. $SA$. D. $AF$.

15. Укажите плоскость, параллельную ребру $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

А. $ABC$. В. $ABC_1$. С. $BDA_1$. D. $BDD_1$.

16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную прямой $BC_1$:

А. $ACD_1$. В. $ACB_1$. С. $ADB_1$. D. $CDA_1$.

17. Укажите плоскость, параллельную ребру $AF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$:

А. $BEE_1$. В. $BDD_1$. С. $BCC_1$. D. $CEE_1$.

18. Укажите плоскость, параллельную ребру $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$:

А. $SAB$. В. $SAF$. С. $SBC$. D. $SEF$.

19. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ACB_1$:

А. $ABC$. В. $ADD_1$. С. $DA_1C_1$. D. $BA_1D_1$.

20. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ADC_1$:

А. $EFA_1$. В. $BED_1$. С. $CFE_1$. D. $EFF_1$.

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью данных прямых. Определите взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$:

Если две прямые $a$ и $b$ параллельны, и плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, но не содержит прямую $b$, то прямая $b$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$. Если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то она пересекала бы и прямую $a$ (так как $a$ лежит в $\alpha$ и параллельна $b$), что противоречило бы условию их параллельности. Если бы прямая $b$ лежала в плоскости $\alpha$, то плоскость $\alpha$ содержала бы обе параллельные прямые, что также противоречит условию "не совпадающая с плоскостью данных прямых". Следовательно, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: C

2. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости:

Пусть даны три параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$, которые не лежат в одной плоскости. Каждая пара параллельных прямых, не совпадающих, определяет единственную плоскость. Поскольку никакие три прямые не лежат в одной плоскости, все плоскости, образованные парами, будут различными.

• Пара $(l_1, l_2)$ определяет плоскость $\alpha_1$.
• Пара $(l_1, l_3)$ определяет плоскость $\alpha_2$.
• Пара $(l_2, l_3)$ определяет плоскость $\alpha_3$.

Всего можно провести 3 такие плоскости.

Ответ: C

3. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из четырех параллельных прямых, никакие три из которых не лежат в одной плоскости:

Пусть даны четыре параллельные прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$, никакие три из которых не лежат в одной плоскости. Каждая пара этих прямых определяет единственную плоскость. Количество способов выбрать 2 прямые из 4 без учета порядка (сочетания) вычисляется по формуле $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $n=4$ (количество прямых) и $k=2$ (количество прямых в паре).

$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Можно образовать следующие пары прямых, каждая из которых определяет уникальную плоскость:

• $(l_1, l_2)$
• $(l_1, l_3)$
• $(l_1, l_4)$
• $(l_2, l_3)$
• $(l_2, l_4)$
• $(l_3, l_4)$

Таким образом, можно провести 6 различных плоскостей.

Ответ: D

4. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, а через прямую $b$ проходит плоскость $\beta$. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, то их линия пересечения $l$ параллельна каждой из прямых $a$ и $b$. Это свойство в стереометрии гласит: если две параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях (каждая в своей плоскости), то линия пересечения этих плоскостей параллельна обеим прямым.

Ответ: A

5. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, принадлежащая прямой $a$. Как расположена прямая $a$ по отношению к проходящей через точку $A$ и прямую $b$ плоскости:

Пусть плоскость $\pi$ проходит через точку $A$ и прямую $b$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $a$ по условию, и точка $A$ также принадлежит плоскости $\pi$ (по построению этой плоскости), это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\pi$ в точке $A$. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\pi$, то прямые $a$ и $b$ были бы компланарны (лежали в одной плоскости $\pi$), что противоречит условию о том, что $a$ и $b$ являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: A

6. Даны скрещивающиеся прямые $c$ и $d$ и точка $K$. Как относительно друг друга расположены плоскости, проходящие через точку $K$ и прямую $c$ и точку $K$ и прямую $d$:

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через точку $K$ и прямую $c$. Пусть $\beta$ — плоскость, проходящая через точку $K$ и прямую $d$. Обе плоскости $\alpha$ и $\beta$ содержат общую точку $K$. Поскольку прямые $c$ и $d$ скрещиваются (то есть они не параллельны и не пересекаются, а значит, не лежат в одной плоскости), то плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать. Так как они имеют общую точку $K$, они не могут быть параллельными. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, которая проходит через точку $K$.

Ответ: B

7. Плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Как расположены относительно друг друга плоскости $\alpha$ и $\beta$:

Дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$.Также дано, что плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$. То есть $P \in a$ и $P \in \alpha$.Поскольку $P \in a$ и $a \parallel \beta$, то точка $P$ не принадлежит плоскости $\beta$ ($P \notin \beta$).Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит точку $P$, которая не принадлежит плоскости $\beta$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут быть параллельными (если бы они были параллельны, то либо совпадали, либо не имели общих точек). Если бы они совпадали, то $P \in \beta$, что противоречит $P \notin \beta$. Если бы они были параллельны и не совпадали, то $P \notin \beta$ было бы верным, но не давало бы информацию о пересечении.Пример 1: $\beta$ — плоскость $z=0$. $a$ — прямая $x=0, z=1$. $a \parallel \beta$. Плоскость $\alpha$ — плоскость $y=0$. $\alpha$ пересекает $a$ в точке $(0,0,1)$. В этом случае $\alpha$ и $\beta$ пересекаются (по оси $x$).Пример 2: $\beta$ — плоскость $z=0$. $a$ — прямая $x=0, z=1$. $a \parallel \beta$. Плоскость $\alpha$ — плоскость $z=2$. $\alpha$ пересекает $a$ в точке $(0,0,2)$. В этом случае $\alpha$ и $\beta$ параллельны.Так как возможны оба случая (параллельны или пересекаются), взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ нельзя однозначно определить.

Ответ: D

8. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, параллельное ребру $AB$:

В кубе противоположные ребра параллельны. Ребро $AB$ находится в нижней грани. Параллельными ему являются ребро $CD$ в той же грани, а также ребра $A_1B_1$ и $C_1D_1$ в верхней грани.Рассмотрим варианты:A. $CC_1$ — боковое ребро, перпендикулярно $AB$.B. $DD_1$ — боковое ребро, перпендикулярно $AB$.C. $B_1C_1$ — ребро верхней грани, перпендикулярно $AB$ (если $B_1C_1$ параллельно $BC$, а $BC$ перпендикулярно $AB$).D. $C_1D_1$ — ребро верхней грани, параллельное $AB$.

Ответ: D

9. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, параллельное ребру $B_1C_1$:

В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые грани — прямоугольниками.Ребро $B_1C_1$ находится в верхнем основании.Параллельными ему являются:1. Соответствующее ребро в нижнем основании: $BC$.2. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Таким образом, в нижнем основании $BC \parallel EF$.Следовательно, $B_1C_1 \parallel BC \parallel EF$.Рассмотрим варианты:A. $AA_1$ — боковое ребро, перпендикулярно основаниям, а значит, и $B_1C_1$.B. $EF$ — ребро нижнего основания, которое параллельно $BC$, а значит, и $B_1C_1$.C. $C_1D_1$ — смежное ребро в верхнем основании, не параллельное $B_1C_1$.D. $DE$ — ребро нижнего основания, не параллельное $B_1C_1$ (оно параллельно $AB$).

Ответ: B

10. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите прямую, параллельную линии пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$:

Линия пересечения двух плоскостей, содержащих общую точку (в данном случае, вершину $S$), проходит через эту точку.Плоскость $SAB$ содержит ребро $AB$. Плоскость $SDE$ содержит ребро $DE$.В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными и, следовательно, параллельными ($AB \parallel DE$).Согласно свойству: если две плоскости пересекаются, и каждая из них содержит по одной параллельной прямой, то линия их пересечения параллельна этим прямым.Таким образом, линия пересечения плоскостей $SAB$ и $SDE$ (обозначим ее $l$) проходит через $S$ и параллельна $AB$ (и $DE$). То есть $l \parallel AB$.Нам нужно найти среди предложенных вариантов прямую, которая параллельна $AB$.Рассмотрим ребра и диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$:

• $AB \parallel DE$
• $BC \parallel EF$
• $CD \parallel FA$

Ответ: Нет правильного варианта среди предложенных.

11. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AA_1$:

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются (то есть не лежат в одной плоскости). Ребро $AA_1$ является вертикальным ребром куба.A. $BC$: Это ребро находится в нижнем основании. Оно не параллельно $AA_1$. Оно не пересекает $AA_1$ (так как $A \notin BC$). Также прямая $BC$ не лежит в одной плоскости с прямой $AA_1$ (плоскость $AA_1B_1B$ содержит $AA_1$, но не содержит $BC$, так как $C$ и $B_1$ не в этой плоскости). Следовательно, $BC$ скрещивается с $AA_1$.B. $BB_1$: Это ребро параллельно $AA_1$. Не скрещивается.C. $AB$: Это ребро пересекает $AA_1$ в точке $A$. Не скрещивается.D. $A_1D_1$: Это ребро пересекает $AA_1$ в точке $A_1$. Не скрещивается.

Ответ: A

12. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AB$:

Ребро $AB$ лежит в нижнем основании призмы.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Для этого они не должны лежать в одной плоскости.A. $CD$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $AB$ (плоскость нижнего основания $ABCDEF$). Они не параллельны. В одной плоскости непараллельные прямые всегда пересекаются (при их продлении). Поэтому $CD$ не скрещивается с $AB$.B. $EF$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $AB$. Они не параллельны. Поэтому $EF$ не скрещивается с $AB$.C. $DD_1$: Это боковое ребро призмы. Оно перпендикулярно плоскости нижнего основания, в которой лежит $AB$. Следовательно, $DD_1$ перпендикулярно $AB$. Они не параллельны. Они не пересекаются (нет общей вершины). Они не компланарны (если бы были, $AB$ была бы в плоскости $DD_1E_1E$, что не так). Следовательно, $DD_1$ скрещивается с $AB$.D. $D_1E_1$: Это ребро верхнего основания. В правильном шестиугольнике $AB \parallel DE$. Так как $D_1E_1 \parallel DE$, то $D_1E_1 \parallel AB$. Параллельные прямые не скрещиваются.

Ответ: C

13. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $SA$:

Ребро $SA$ является боковым ребром пирамиды.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются.A. $AB$: Это ребро основания. Оно пересекает $SA$ в точке $A$. Не скрещивается.B. $SC$: Это другое боковое ребро. Прямые $SA$ и $SC$ лежат в одной плоскости (диагональное сечение $SAC$). Поскольку они имеют общую вершину $S$ и не параллельны (угол $ASC \neq 0$), они пересекаются в точке $S$. Не скрещиваются.C. $SD$: Это другое боковое ребро. Оно пересекает $SA$ в точке $S$. Не скрещивается.D. $BC$: Это ребро основания. Оно не параллельно $SA$. Оно не пересекает $SA$ (нет общей вершины). Прямая $SA$ и прямая $BC$ не лежат в одной плоскости. Плоскость $SBC$ содержит $BC$, но не содержит $SA$. Следовательно, $BC$ скрещивается с $SA$.

Ответ: D

14. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $BC$:

Ребро $BC$ является стороной основания пирамиды.Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не параллельны и не пересекаются.A. $DE$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $BC$ (плоскость основания $ABCDEF$). В правильном шестиугольнике $BC$ не параллельно $DE$ (на самом деле $BC \parallel EF$). Так как они компланарны и не параллельны, они пересекаются (при их продлении). Не скрещиваются.B. $SB$: Это боковое ребро. Оно пересекает $BC$ в точке $B$. Не скрещивается.C. $SA$: Это боковое ребро. Оно не параллельно $BC$. Оно не пересекает $BC$ (нет общей вершины). Прямая $SA$ и прямая $BC$ не лежат в одной плоскости. Плоскость $SBC$ содержит $BC$, но не содержит $SA$. Следовательно, $SA$ скрещивается с $BC$.D. $AF$: Это ребро находится в той же плоскости, что и $BC$. В правильном шестиугольнике $AF$ не параллельно $BC$ (на самом деле $AF \parallel CD$). Так как они компланарны и не параллельны, они пересекаются (при их продлении). Не скрещиваются.

Ответ: C

15. Укажите плоскость, параллельную ребру $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

Ребро $CC_1$ является вертикальным ребром куба. Плоскость параллельна прямой, если эта прямая не имеет общих точек с плоскостью, либо прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.Ребро $CC_1$ параллельно всем другим вертикальным ребрам куба: $AA_1, BB_1, DD_1$.A. $ABC$: Это плоскость нижнего основания. Ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$. Не параллельна.B. $ABC_1$: Эта плоскость содержит $A, B, C_1$. Ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C_1$. Не параллельна.C. $BDA_1$: Эта плоскость проходит через вершины $B, D, A_1$. Ребро $CC_1$ не пересекает эту плоскость. Чтобы проверить параллельность, можно проверить, содержит ли плоскость прямую, параллельную $CC_1$, или ортогонален ли вектор направления $CC_1$ нормали плоскости. Плоскость $BDA_1$ содержит $A_1$. Ребро $AA_1$ параллельно $CC_1$. Однако $AA_1$ не лежит в плоскости $BDA_1$ (точка $A$ не лежит в $BDA_1$). Уравнение плоскости $BDA_1$ (при начале координат в $A$, ребрах по осям): $x+y+z=a$ (где $a$ - длина ребра куба). Вектор $CC_1$ имеет направление $(0,0,1)$. Нормаль плоскости $(1,1,1)$. Скалярное произведение $(0,0,1) \cdot (1,1,1) = 1 \neq 0$. Значит, $CC_1$ пересекает плоскость $BDA_1$. Не параллельна.D. $BDD_1$: Эта плоскость является диагональной плоскостью куба, проходящей через вершины $B, D, D_1$. Эта плоскость содержит ребро $DD_1$. Так как $DD_1$ параллельно $CC_1$, то плоскость $BDD_1$ параллельна прямой $CC_1$.

Ответ: D

16. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную прямой $BC_1$:

Прямая $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$.A. $ACD_1$: Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $A, C, D_1$. В кубе диагонали противоположных граней параллельны друг другу. Прямая $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Прямая $AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$. Эти грани противоположны. Соответственно, $BC_1 \parallel AD_1$. Поскольку прямая $AD_1$ лежит в плоскости $ACD_1$, то прямая $BC_1$ параллельна плоскости $ACD_1$.

Ответ: A

17. Укажите плоскость, параллельную ребру $AF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$:

Ребро $AF$ лежит в нижнем основании призмы.Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ сторона $AF$ параллельна стороне $CD$.Плоскость параллельна прямой, если она содержит прямую, параллельную данной, или не имеет общих точек с данной прямой.Используем метод координат. Пусть центр нижнего основания $O$ - начало координат $(0,0,0)$. Пусть длина стороны шестиугольника $r$. Высота призмы $h$.$A(r,0,0)$, $F(r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$. Вектор $\vec{AF} = (r/2-r, -r\sqrt{3}/2-0, 0) = (-r/2, -r\sqrt{3}/2, 0)$.Проверим варианты:A. $BEE_1$: Точки $B(r/2, r\sqrt{3}/2,0)$, $E(-r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $E_1(-r/2, -r\sqrt{3}/2,h)$.Векторы, определяющие плоскость: $\vec{BE} = E-B = (-r, -r\sqrt{3}, 0)$. $\vec{EE_1} = (0,0,h)$.Нормаль к плоскости $BEE_1$: $N_{BEE_1} = \vec{BE} \times \vec{EE_1} = ((-r\sqrt{3})h - 0, 0 - (-r)h, (-r)0 - (-r\sqrt{3})0) = (-r\sqrt{3}h, rh, 0)$.Проверим, ортогонален ли вектор $\vec{AF}$ нормали $N_{BEE_1}$:$\vec{AF} \cdot N_{BEE_1} = (-r/2)(-r\sqrt{3}h) + (-r\sqrt{3}/2)(rh) + (0)(0) = r^2\sqrt{3}h/2 - r^2\sqrt{3}h/2 = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{AF}$ ортогонален нормали плоскости $BEE_1$, что означает, что прямая $AF$ параллельна плоскости $BEE_1$.Прямая $AF$ не пересекает плоскость $BEE_1$ (точки $A$ и $F$ не лежат в этой плоскости).Это является верным ответом.

Ответ: A

18. Укажите плоскость, параллельную ребру $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$:

Ребро $CD$ лежит в основании пирамиды. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $FA$ ($CD \parallel FA$).Плоскость $SAF$ содержит ребро $FA$. Поскольку $CD \parallel FA$ и $FA$ лежит в плоскости $SAF$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $SAF$.Рассмотрим другие варианты:A. $SAB$: содержит $AB$. $CD$ не параллельно $AB$.C. $SBC$: содержит $BC$. $CD$ не параллельно $BC$.D. $SEF$: содержит $EF$. $CD$ не параллельно $EF$ ($CD \parallel FA$, $EF \parallel BC$).

Ответ: B

19. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ACB_1$:

Плоскость параллельна другой плоскости, если их нормальные векторы параллельны.Пусть куб имеет вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$ и ребра, идущие по осям координат, длиной $s$.Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(s,0,0)$, $C(s,s,0)$, $D(0,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $B_1(s,0,s)$, $C_1(s,s,s)$, $D_1(0,s,s)$.Плоскость $ACB_1$ содержит точки $A(0,0,0)$, $C(s,s,0)$, $B_1(s,0,s)$.Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AC} = (s,s,0)$, $\vec{AB_1} = (s,0,s)$.Нормальный вектор $N_{ACB_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = (s \cdot s - 0 \cdot 0, 0 \cdot s - s \cdot s, s \cdot 0 - s \cdot s) = (s^2, -s^2, -s^2)$.Можно использовать нормальный вектор $(1, -1, -1)$.Проверим варианты:A. $ABC$: это плоскость $z=0$. Нормаль $(0,0,1)$. Не параллельна $(1,-1,-1)$.B. $ADD_1$: это плоскость $x=0$. Нормаль $(1,0,0)$. Не параллельна $(1,-1,-1)$.C. $DA_1C_1$: Эта плоскость содержит точки $D(0,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $C_1(s,s,s)$.Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{DA_1} = A_1-D = (0,-s,s)$, $\vec{DC_1} = C_1-D = (s,0,s)$.Нормальный вектор $N_{DA_1C_1} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = ((-s)s - s \cdot 0, s \cdot s - 0 \cdot s, 0 \cdot 0 - (-s)s) = (-s^2, s^2, s^2)$.Этот вектор $(-s^2, s^2, s^2)$ пропорционален $(1,-1,-1)$ (путем умножения на $-s^2$).Следовательно, плоскость $DA_1C_1$ параллельна плоскости $ACB_1$.Это стандартное свойство куба: плоскости, проходящие через диагонали противоположных граней, параллельны.

Ответ: C

20. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите плоскость, параллельную плоскости $ADC_1$:

Используем координатный метод. Пусть центр нижнего основания $O$ - начало координат $(0,0,0)$. Длина стороны шестиугольника $r$. Высота призмы $h$.Координаты вершин: $A(r,0,0)$, $D(-r,0,0)$, $C_1(-r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Плоскость $ADC_1$:Векторы в плоскости: $\vec{AD} = D-A = (-2r,0,0)$. $\vec{AC_1} = C_1-A = (-r/2-r, r\sqrt{3}/2-0, h-0) = (-3r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Нормальный вектор $N_{ADC_1} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = (0 \cdot h - 0 \cdot r\sqrt{3}/2, 0 \cdot (-3r/2) - (-2r)h, (-2r)r\sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-3r/2)) = (0, 2rh, -r^2\sqrt{3})$.Можно взять пропорциональный вектор $(0, 2h, -r\sqrt{3})$.Проверим варианты:A. $EFA_1$: Точки $E(-r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $F(r/2, -r\sqrt{3}/2,0)$, $A_1(r,0,h)$.Векторы в плоскости: $\vec{EF} = F-E = (r,0,0)$. $\vec{EA_1} = A_1-E = (r-(-r/2), 0-(-r\sqrt{3}/2), h-0) = (3r/2, r\sqrt{3}/2, h)$.Нормальный вектор $N_{EFA_1} = \vec{EF} \times \vec{EA_1} = (0 \cdot h - 0 \cdot r\sqrt{3}/2, 0 \cdot 3r/2 - r \cdot h, r \cdot r\sqrt{3}/2 - 0 \cdot 3r/2) = (0, -rh, r^2\sqrt{3}/2)$.Этот нормальный вектор $(0, -rh, r^2\sqrt{3}/2)$ пропорционален вектору $(0, 2h, -r\sqrt{3})$:$(0, -rh, r^2\sqrt{3}/2) \times (-2/r) = (0, 2h, -r\sqrt{3})$.Поскольку нормальные векторы пропорциональны, плоскости $EFA_1$ и $ADC_1$ параллельны.

Ответ: A