Номер 8.9, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ требуется указать линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Плоскость $\alpha = ABC_1$.
Плоскость $\beta = BCD_1$.

Найти:
Линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо определить две общие точки для этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, будет искомой линией пересечения.

1.Определение первой общей точки.

Рассмотрим точки, задающие данные плоскости: плоскость $ABC_1$ задана точками A, B, C_1; плоскость $BCD_1$ задана точками B, C, D_1. Точка B присутствует в обеих группах точек. Следовательно, точка B является общей для обеих плоскостей и лежит на линии их пересечения.

2.Определение второй общей точки.

Рассмотрим плоскость $ABC_1$. Эта плоскость содержит прямую $AB$ (которая является ребром нижней грани куба $ABCD$).

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $CD$ параллельно ребру $C_1D_1$. Отсюда следует, что $AB \parallel C_1D_1$.

Точка $C_1$ является одной из точек, задающих плоскость $ABC_1$, и она не лежит на прямой $AB$. Через точку $C_1$ проходит прямая $C_1D_1$, которая, как мы установили, параллельна прямой $AB$.

Согласно теореме планиметрии: если плоскость содержит прямую $a$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой, и через точку $M$ проходит прямая $b$, параллельная прямой $a$, то прямая $b$ целиком лежит в этой плоскости. Применяя эту теорему: прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC_1$, точка $C_1$ лежит в плоскости $ABC_1$, и прямая $C_1D_1$ проходит через $C_1$ и параллельна $AB$. Следовательно, прямая $C_1D_1$ целиком лежит в плоскости $ABC_1$. Это означает, что точка $D_1$ также лежит в плоскости $ABC_1$.

Теперь мы знаем, что плоскость $ABC_1$ фактически является плоскостью, проходящей через точки A, B, C_1, и $D_1$, то есть это плоскость $ABD_1C_1$.

Таким образом, нам нужно найти линию пересечения плоскостей $ABD_1C_1$ и $BCD_1$.

Проверим общие точки для этих двух плоскостей:
- Точка B принадлежит плоскости $ABD_1C_1$ и плоскости $BCD_1$.
- Точка $D_1$ принадлежит плоскости $ABD_1C_1$ (как показано выше) и плоскости $BCD_1$ (по определению).

Поскольку точки B и $D_1$ являются общими для обеих плоскостей, то линия, проходящая через них, является линией пересечения этих плоскостей. Это прямая $BD_1$.

Ответ: Прямая $BD_1$.