Номер 8.8, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.8. Верно ли утверждение: “Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны”?

Нет, данное утверждение неверно.

Решение

Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Условие задачи, однако, не указывает, что прямые, лежащие в каждой плоскости, должны пересекаться. Они могут быть параллельными между собой.

Рассмотрим контрпример.

Пусть плоскость $P_1$ - это координатная плоскость $z=0$ (плоскость $xOy$).

Пусть в плоскости $P_1$ даны две прямые: прямая $a$ - ось $Ox$, задаваемая уравнениями $y=0, z=0$; и прямая $b$ - прямая $y=1, z=0$. Прямая $b$ параллельна оси $Ox$, то есть $a \parallel b$. Обе прямые лежат в плоскости $P_1$.

Пусть плоскость $P_2$ - это координатная плоскость $y=0$ (плоскость $xOz$).

Пусть в плоскости $P_2$ даны две прямые: прямая $c$ - ось $Ox$, задаваемая уравнениями $y=0, z=0$. Эта прямая $c$ параллельна прямой $a$ (они совпадают), то есть $a \parallel c$. И прямая $d$ - прямая $y=0, z=1$. Эта прямая $d$ параллельна оси $Ox$. Направление прямой $b$ задается вектором $(1,0,0)$. Направление прямой $d$ также задается вектором $(1,0,0)$. Поскольку эти прямые не имеют общих точек (у $b$ координата $y=1$, у $d$ координата $y=0$, а у $b$ координата $z=0$, у $d$ координата $z=1$), они параллельны, то есть $b \parallel d$. Обе прямые лежат в плоскости $P_2$.

Итак, мы имеем две прямые $a$ и $b$ в плоскости $P_1$, которые параллельны друг другу ($a \parallel b$). Мы также имеем две прямые $c$ и $d$ в плоскости $P_2$, которые параллельны друг другу ($c \parallel d$). При этом выполняются условия, указанные в утверждении: прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$) и прямая $b$ параллельна прямой $d$ ($b \parallel d$).

Однако, плоскость $P_1$ ($z=0$) и плоскость $P_2$ ($y=0$) не являются параллельными. Они пересекаются по оси $Ox$ ($y=0, z=0$).

Таким образом, утверждение, что "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны", неверно.

Ответ: Нет.