Номер 11.5, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.5. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.7) данные прямая и плоскость перпендикулярны:

а) $AA_1$ и $ABC$;

б) $AB$ и $BCC_1$;

в) $AB_1$ и $BCD_1$.

Рис. 11.7

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.7).

Найти: Доказать, что данные прямая и плоскость перпендикулярны:

Решение:

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

а) $AA_1$ и $ABC$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AA_1$ перпендикулярно ребрам $AB$ и $AD$. Это следует из того, что грани $ABA_1B_1$ и $ADA_1D_1$ являются квадратами, а смежные стороны квадрата перпендикулярны. Таким образом, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$.

Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $A$.

По определению, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: $AA_1 \perp ABC$

б) $AB$ и $BCC_1$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ перпендикулярно ребрам $BC$ и $BB_1$. Это следует из того, что грани $ABCD$ и $ABA_1B_1$ являются квадратами, а смежные стороны квадрата перпендикулярны. Таким образом, $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$.

Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости $BCC_1$ и пересекаются в точке $B$.

По определению, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Ответ: $AB \perp BCC_1$

в) $AB_1$ и $BCD_1$

Для доказательства перпендикулярности прямой $AB_1$ и плоскости $BCD_1$ воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты необходимых точек:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C = (a,a,0)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Найдем вектор $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$

В плоскости $BCD_1$ выберем две пересекающиеся прямые, например, $BC$ и $BD_1$. Эти прямые пересекаются в точке $B$.

Найдем вектор $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (a)(0) + (0)(a) + (a)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB_1} \perp \vec{BC}$, то есть прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $BC$.

Найдем вектор $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB_1} \perp \vec{BD_1}$, то есть прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $BD_1$.

Поскольку прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BD_1$), лежащим в плоскости $BCD_1$, то прямая $AB_1$ перпендикулярна этой плоскости.

Ответ: $AB_1 \perp BCD_1$