Номер 11.15, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.15. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ прямая $BE_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Доказать, что прямая $BE_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Решение:

Для доказательства того, что прямая $BE_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$, необходимо показать, что $BE_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $ACB_1$.

1. Докажем, что $BE_1 \perp AC$:

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Диагональ $BE$ является главной диагональю, проходящей через центр шестиугольника. Диагональ $AC$ является малой диагональю.

В правильном шестиугольнике главная диагональ перпендикулярна малой диагонали, соединяющей несмежные вершины. То есть, $AC \perp BE$.

Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, в которой лежит прямая $AC$. Следовательно, $BB_1 \perp AC$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BE$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BEE_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1B_1$.

Прямая $BE_1$ лежит в плоскости $BEE_1B_1$. Из этого следует, что $BE_1 \perp AC$.

2. Докажем, что $BE_1$ перпендикулярна ещё одной прямой в плоскости $ACB_1$:

Введем систему координат. Пусть центр основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Координаты некоторых вершин:

• $A = (a, 0, 0)$

• $B = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

• $E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Вектор $\vec{BE_1}$: $E_1 - B = (-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-a, -a\sqrt{3}, h)$.

Рассмотрим вектор $\vec{CB_1}$: $B_1 - C = (\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (a, 0, h)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BE_1}$ и $\vec{CB_1}$:

$\vec{BE_1} \cdot \vec{CB_1} = (-a)(a) + (-a\sqrt{3})(0) + (h)(h) = -a^2 + h^2$.

Для того чтобы $\vec{BE_1}$ был перпендикулярен $\vec{CB_1}$, их скалярное произведение должно быть равно нулю: $-a^2 + h^2 = 0 \implies h^2 = a^2 \implies h = a$ (так как $h>0$).

Это означает, что прямая $BE_1$ перпендикулярна прямой $CB_1$ только в случае, если высота призмы равна длине стороны основания ($h=a$). В общем случае правильной шестиугольной призмы это условие не выполняется. Аналогичный результат получается для $AB_1$ и $B_1M$ (где $M$ — середина $AC$).

Задача сформулирована как "докажите", что обычно означает истинность утверждения для любого правильного шестиугольного призмы. Однако, как показано выше, это не выполняется для произвольной высоты $h$. В таких задачах часто подразумевается, что боковые грани являются квадратами, то есть $h=a$. Примем это как неявное условие.

При условии $h=a$, мы имеем $\vec{BE_1} \cdot \vec{CB_1} = -a^2 + a^2 = 0$. Таким образом, $BE_1 \perp CB_1$.

Поскольку прямая $BE_1$ перпендикулярна прямой $AC$ (доказано в п. 1) и перпендикулярна прямой $CB_1$ (при условии $h=a$), а прямые $AC$ и $CB_1$ являются пересекающимися прямыми в плоскости $ACB_1$, то прямая $BE_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Ответ: Прямая $BE_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$ при условии, что высота призмы равна стороне её основания ($h=a$).