Номер 11.16, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.16. Докажите, что через любую точку, принадлежащую данной плоскости, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

Решение

Докажем, что через любую точку $A$, принадлежащую данной плоскости $\alpha$, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

Существование:

1. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A \in \alpha$.

2. Проведем в плоскости $\alpha$ две произвольные пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через точку $A$.

3. Рассмотрим плоскость $\beta_1$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $l_1$. (Существование и единственность такой плоскости через заданную точку, перпендикулярной заданной прямой, являются основными теоремами стереометрии).

4. Аналогично, рассмотрим плоскость $\beta_2$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $l_2$.

5. Плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ различны. Если бы они совпадали, то прямые $l_1$ и $l_2$ были бы перпендикулярны одной и той же плоскости, что возможно только если $l_1$ и $l_2$ параллельны или совпадают. Но $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $A$ и различны по построению. Следовательно, $\beta_1 \ne \beta_2$.

6. Пересечение двух различных плоскостей, проходящих через общую точку $A$, есть прямая, проходящая через эту точку. Назовем эту прямую $p$. Таким образом, $p = \beta_1 \cap \beta_2$.

7. Поскольку прямая $p$ лежит в плоскости $\beta_1$ и проходит через $A$, она перпендикулярна прямой $l_1$ (так как плоскость $\beta_1$ перпендикулярна $l_1$). То есть $p \perp l_1$.

8. Аналогично, поскольку прямая $p$ лежит в плоскости $\beta_2$ и проходит через $A$, она перпендикулярна прямой $l_2$ (так как плоскость $\beta_2$ перпендикулярна $l_2$). То есть $p \perp l_2$.

9. Таким образом, мы нашли прямую $p$, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна двум пересекающимся прямым $l_1$ и $l_2$ в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $p$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Это доказывает существование такой прямой.

Единственность:

1. Предположим противное: пусть через точку $A \in \alpha$ проходят две различные прямые $p_1$ и $p_2$, каждая из которых перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть $p_1 \perp \alpha$ и $p_2 \perp \alpha$, причем $p_1 \ne p_2$.

2. Так как прямые $p_1$ и $p_2$ проходят через общую точку $A$ и различны, они определяют единственную плоскость $\gamma$, содержащую обе эти прямые.

3. Рассмотрим прямую $l$, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Поскольку точка $A$ принадлежит обеим плоскостям ($\alpha$ и $\gamma$), она лежит на прямой $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap \gamma$, и $A \in l$.

4. Поскольку прямая $p_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p_1 \perp \alpha$), то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $p_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения. В частности, $p_1 \perp l$, так как $l \subset \alpha$ и $l$ проходит через $A$.

5. Аналогично, поскольку прямая $p_2$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p_2 \perp \alpha$), то $p_2 \perp l$.

6. Таким образом, в плоскости $\gamma$ (которая содержит $p_1$, $p_2$ и $l$) мы имеем две различные прямые $p_1$ и $p_2$, проходящие через точку $A$ и обе перпендикулярные одной и той же прямой $l$ в этой точке $A$.

7. Однако, согласно аксиоме планиметрии (или соответствующей теореме), через данную точку на данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой в этой точке.

8. Это противоречит нашему предположению о том, что прямые $p_1$ и $p_2$ различны. Следовательно, прямые $p_1$ и $p_2$ должны совпадать.

Это доказывает единственность такой прямой.

Из доказательства существования и единственности следует, что через любую точку, принадлежащую данной плоскости, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

Ответ: Доказано.