Номер 12.2, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 12.7) найдите расстояние от вершины А до плоскости:

а) $BCC_1$

б) $BCD_1$

Рис. 12.7

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти

Расстояние от вершины A до плоскостей:

a) $BCC_1$

б) $BCD_1$

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке A. Пусть ребро AB лежит вдоль оси Ox, ребро AD вдоль оси Oy, а ребро $AA_1$ вдоль оси Oz. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

A = (0,0,0)

B = (1,0,0)

C = (1,1,0)

D = (0,1,0)

$A_1$ = (0,0,1)

$B_1$ = (1,0,1)

$C_1$ = (1,1,1)

$D_1$ = (0,1,1)

а) Расстояние от вершины A до плоскости BCC₁

Плоскость $BCC_1$ является боковой гранью куба, перпендикулярной оси Ox. Эта плоскость проходит через точки B(1,0,0), C(1,1,0), $C_1$(1,1,1) и $B_1$(1,0,1). Все точки этой грани имеют координату $x = 1$. Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $x = 1$, что можно записать как $x - 1 = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки A(0,0,0) и плоскости $x - 1 = 0$ (где $A=1, B=0, C=0, D=-1$), подставим значения:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

Или, более интуитивно, плоскость $BCC_1$ — это грань куба, смежная с вершиной A. Расстояние от вершины куба до примыкающей к ней грани, перпендикулярной ребру, исходящему из этой вершины и лежащему на этой грани, равно длине ребра куба. В данном случае, ребро AB перпендикулярно плоскости $BCC_1$, и его длина равна 1. Следовательно, расстояние от A до плоскости $BCC_1$ равно 1.

Ответ: $1$

б) Расстояние от вершины A до плоскости BCD₁

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки B(1,0,0), C(1,1,0) и $D_1$(0,1,1).

Для определения уравнения плоскости $BCD_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CB} = B - C = (1-1, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0)$

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-1) = (-1, 0, -1)$

Для удобства вычислений можно взять вектор нормали, умноженный на -1, то есть $\vec{n} = (1, 0, 1)$.

Используем общую формулу уравнения плоскости $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(x_0,y_0,z_0)$ - точка на плоскости (например, B(1,0,0)), а $(A,B,C)$ - вектор нормали (1,0,1):

$1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$}

$x - 1 + z = 0$}

$x + z - 1 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки A(0,0,0) до плоскости $x + z - 1 = 0$. Используем ту же формулу расстояния, где $A=1, B=0, C=1, D=-1$ и $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это значение можно также рационализировать знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$