Номер 12.4, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.4. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины A до плоскости:
а) $BDD_1$;
б) $BEE_1$;
в) $BFF_1$;
г) $BCC_1$;
д) $CDD_1$;
е) $CEE_1$;
ж) $CFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Вершина, от которой измеряется расстояние: $A$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние от вершины $A$ до каждой из плоскостей: а) $BDD_1$; б) $BEE_1$; в) $BFF_1$; г) $BCC_1$; д) $CDD_1$; е) $CEE_1$; ж) $CFF_1$.

Решение:

Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку все ребра равны 1, то длина стороны правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания. Например, $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Все перечисленные плоскости являются вертикальными (содержат вертикальное ребро призмы). Поэтому расстояние от вершины $A$ до такой плоскости равно расстоянию от вершины $A$ (в плоскости $z=0$) до прямой пересечения этой плоскости с плоскостью основания $ABCDEF$.

а) BDD_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BDD_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BD$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.

Угловой коэффициент прямой $BD$: $m_{BD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Уравнение прямой $BD$: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Преобразуем к виду $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 3(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2}} = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$.

Ответ: $1$

б) BEE_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BEE_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BE$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BE$ проходит через начало координат $(0,0)$.

Угловой коэффициент прямой $BE$: $m_{BE} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $BE$: $y = \sqrt{3}x \Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) BFF_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BFF_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BF$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BF$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = \frac{1}{2}$.

Уравнение прямой $BF$: $x - \frac{1}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x - \frac{1}{2} = 0$:

$d = \frac{|1 - \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2}|}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) BCC_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BC$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BC$ является горизонтальной прямой, проходящей через $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение прямой $BC$: $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$:

$d = \frac{|0 - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

д) CDD_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CD$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.

Угловой коэффициент прямой $CD$: $m_{CD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $CD$: $y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$.

Преобразуем к виду $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

е) CEE_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CEE_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CE$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CE$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = -\frac{1}{2}$.

Уравнение прямой $CE$: $x + \frac{1}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x + \frac{1}{2} = 0$:

$d = \frac{|1 + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{3}{2}|}{1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

ж) CFF_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CFF_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CF$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CF$ проходит через начало координат $(0,0)$.

Угловой коэффициент прямой $CF$: $m_{CF} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.

Уравнение прямой $CF$: $y = -\sqrt{3}x \Rightarrow \sqrt{3}x + y = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x + y = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$